Erdorientierungsparameter Validierung

Die zentrale Größe dieser Arbeit ist der Trägheitstensor der Erde. Er wird als gewichtetes Mittel individueller Lösungen aus verschiedenen Zeitreihen berechnet. Die Gewichte werden durch die Schätzung der Varianz- und Kovarianzkomponenten (VCC) bestimmt. Die äquatorialen Elemente des Tensors werden etwa gleichgewichtig von den äquatorialen Massentermen und der Differenz zwischen Polbewegung und äquatorialen Bewegungstermen beeinflusst. Das axiale Element wird hauptsächlich von den axialen Massentermen bestimmt. Die Schwerefeldkoeffizienten zweiter Ordnung (GFC2) tragen am geringsten zum Trägheitstensor bei. Drei der sechs Tensorelemente sind redundant bestimmbar, was eine Validierung durch ein restringiertes Gauss-Helmert-Modell (GHM) ermöglicht. Da die Zeitreihen aus verschiedenen Quellen stammen, ist eine Schätzung der VCC innerhalb des Ausgleichungsalgorithmus notwendig. Die Dissertation leitet die hierfür benötigten Formeln ab, die die mehrfache Berechnung von Spuren großer Matrizenprodukte erfordern. Um den rechenintensiven Prozess zu optimieren, wird der stochastische Monte-Carlo Spurschätzer (SMCTE), ursprünglich für das unrestringierte Gauss-Markov-Modell (GMM) entwickelt, auf das restringierte GHM erweitert.

Die Residuen der Zeitreihen enthalten die Signalanteile, die in den anderen Reihen nicht vorhanden sind, also die Inkonsistenzen. Jährliche Perioden dominieren die meisten Residuen. Korrelationen zwischen den GFC2 und den Schwerefeldkoeffizienten höherer Grade entstehen durch die gemeinsame Bestimmung aller Koeffizienten. Um diesen Einfluss zu untersuchen, wird das GHM auf Koeffizienten bis Grad/Ordnung 10 erweitert. Starke Korrelationen führen zu größeren Residuen bei den höheren Graden. Die resultierenden Residuenpotentialkarten werden hauptsächlich durch die Residuen von C20, C21 und S21 beeinflusst, wobei auch der Einfluss höherer Grade sichtbar ist. Die Korrelationen haben einen signifikanten Einfluss auf die Berechnung der Potentialkarten, weshalb eine verstärkte Veröffentlichung von Kovarianzinformationen empfohlen wird. Die gegenseitige Validierung der Zeitreihen erfolgt über den Trägheitstensor, wobei drei von sechs Elementen redundant bestimmt werden können. Dies ermöglicht eine Validierung mittels des GHM und der Methode der kleinsten Quadrate. Die verschiedenen Datenquellen erfordern die Schätzung von Varianz- und Kovarianzkomponenten (VCC).

Die verwendeten Daten umfassen Erdorientierungsparameter (EOP), Schwerefeldkoeffizienten zweiter Ordnung (GFC2) von GRACE und SLR, sowie Anregungsfunktionen, die die Beiträge von Atmosphäre, Ozeanen und kontinentaler Hydrologie zu den Variationen des Trägheitstensors (Massenterme) und des relativen Drehimpulses (Bewegungsterme) modellieren. EOP werden aus verschiedenen Messtechniken (VLBI, SLR, GNSS, DORIS, LLR) kombiniert. GRACE liefert hochauflösende, zeitvariable Schwerefelder seit 2002. SLR bietet niedrigere räumliche Auflösung. Die Anregungsfunktionen modellieren die Auswirkungen der Massenverteilungen einzelner Subsysteme. Das Ziel besteht in der Validierung der Zeitreihen durch Identifizierung und Quantifizierung von Inkonsistenzen. Die Daten werden mit verschiedenen Modellen verarbeitet und verschiedene Datenzentren (z.B. CSR, GFZ, JPL, ITG, GRGS) liefern unterschiedliche GFC2-Lösungen, die im Rahmen der Analyse berücksichtigt werden. Zusätzlich werden Daten aus Modellen wie AOD1B (ECMWF, OMCT) und LSDM verwendet.

Die Validierung erfolgt durch ein Ausgleichsmodell, in dem EOP, GFC2 und Anregungsfunktionen als (Pseudo-) Beobachtungen und der Trägheitstensor als Unbekannte betrachtet werden. A-priori-Varianz-Kovarianz-Matrizen (VCM) werden mitgeliefert oder approximiert. Das funktionale Modell basiert auf geophysikalischen Modellen, die die Zeitreihen mit dem Trägheitstensor verknüpfen. Aufgrund unterschiedlicher zeitlicher Auflösungen (täglich, monatlich) werden die täglichen Reihen auf monatliche Werte reduziert. Die unbeobachteten Zeitableitungen der Polbewegung müssen approximiert werden, und zwei Ansätze werden in einer Sensitivitätsanalyse untersucht. Die Sensitivitätsanalyse untersucht den Einfluss verschiedener geophysikalischer Modelle, insbesondere des Modells für die Kern-Mantel-Kopplung und der Approximation der Zeitableitung der Polbewegung. Insgesamt werden neun Zeitreihen (EOP, Anregungsfunktionen, GRACE GFC2, SLR GFC2) über einen Zeitraum von fast sechs Jahren ausgewertet. Das Ergebnis sind ausgeglichene Residuen, der ausgeglichene Trägheitstensor und a-posteriori-Varianz-Kovarianz-Matrizen, die die relative Genauigkeit der Zeitreihen reflektieren. Die Verwendung des Gauss-Helmert Modells und die Erweiterung des SMCTE zur Schätzung der Kovarianzkomponenten sind zentrale Aspekte dieser Arbeit.

Die Schätzung von Varianz- und Kovarianzkomponenten (VCC) ist zentral für die Gewichtung der verschiedenen Datenquellen im Ausgleichungsmodell. Die Dissertation konzentriert sich auf die Ableitung der notwendigen Formeln für die VCC-Schätzung im restringierten Gauss-Helmert-Modell (GHM). Diese Berechnungen erfordern die mehrfache Berechnung von Spuren großer Matrizenprodukte, was rechenintensiv ist. Um dies zu umgehen, wird der Stochastische Monte-Carlo Spurschätzer (SMCTE) aus der Literatur adaptiert und erweitert. Der ursprüngliche SMCTE schätzt Varianzkomponenten im unrestringierten Gauss-Markov-Modell (GMM). Die vorliegende Arbeit erweitert den SMCTE so, dass auch Kovarianzkomponenten im restringierten GHM geschätzt werden können. Die Arbeit vergleicht implizit die hier abgeleiteten Formeln mit denen von Yu (1992), wobei die Identitäts der Formeln hervorgehoben wird. Der Ansatz von Koch (1999) zur besten invarianten quadratischen Schätzung (BIQUE) von VCC in einem unrestringierten GMM wird ebenfalls adaptiert und mit anderen Ansätzen wie MINQUE verglichen. Die Effizienzsteigerung durch den SMCTE gegenüber direkten Berechnungen wird betont, insbesondere im Hinblick auf die Anzahl an Gleitkommaoperationen.

Ein wesentlicher Bestandteil der Arbeit ist die Erweiterung des Stochastischen Monte-Carlo Spurschätzers (SMCTE). Dieser Schätzer wird in der Literatur für die effiziente Schätzung von Varianzkomponenten in unrestringierten Gauss-Markov-Modellen (GMM) verwendet. In dieser Dissertation wird der SMCTE so modifiziert, dass er auch die Schätzung von Kovarianzkomponenten in restringierten Gauss-Helmert-Modellen (GHM) erlaubt. Die Erweiterung beinhaltet die Berücksichtigung von Nebenbedingungen im Ausgleichungsmodell. Die Arbeit diskutiert die Genauigkeit der Spur-Schätzung des SMCTE, insbesondere die Varianz der Schätzung für symmetrische und asymmetrische Matrizen und die mögliche Überschätzung der Grenzen. Die Konvergenz des Verfahrens und deren Abhängigkeit von den partiellen Redundanz der Beobachtungen werden untersucht. Die Arbeit verweist darauf, dass die Konvergenz auch von der partiellen Redundanz der Beobachtungen beeinflusst wird und ein zu kleiner Wert der Kovarianzkomponente zu Konvergenzproblemen führen kann. Die Vermeidung expliziter Matrixinversionen durch den Einsatz von schnellen linearen Lösern wird ebenfalls als Vorteil des Verfahrens genannt. Der Ansatz von Förstner (1979) zur Reduktion von Gleitkommaoperationen wird erwähnt, jedoch wird betont, dass selbst mit diesem Ansatz die Berechnung der Spuren rechenintensiv bleibt, daher die Notwendigkeit des SMCTE.

Die Zuverlässigkeit der geschätzten Kovarianzkomponenten wird detailliert untersucht. Es wird festgestellt, dass die Konvergenz der Kovarianzkomponenten im Vergleich zu den Varianzkomponenten schlechter sein kann, besonders wenn nur eine einzelne Gravity Field Solution (z.B. ITG 2010) betrachtet wird. Im Gegensatz dazu konvergiert die Schätzung bei Berücksichtigung von sechs Gravity Field Lösungen zufriedenstellend. Dies deutet darauf hin, dass die partielle Redundanz der Beobachtungen einen entscheidenden Einfluss auf die Konvergenz und die Zuverlässigkeit der Schätzung hat. Bei der Betrachtung nur einer einzelnen Lösung (ITG 2010) weisen C22 und S22 eine reduzierte oder gar keine partielle Redundanz auf, was zu einer unzuverlässigen Schätzung der Kovarianzkomponente führt. Die Arbeit spekuliert über zwei mögliche Gründe für die ungenügende Konvergenz: Die ungenügende Genauigkeit des SMCTE bei der Schätzung der Spuren von asymmetrischen Matrizen und eine schlecht konditionierte Matrix S (Gleichung 3.42), wahrscheinlich verursacht durch zu geringe partielle Redundanz der zugehörigen Beobachtungen. Die Notwendigkeit weiterer theoretischer und experimenteller Untersuchungen wird betont.

Die Analyse der verschiedenen Zeitreihen wird durch deren unterschiedliche zeitliche Auflösungen erschwert. Erdorientierungsparameter (EOP) und Anregungsfunktionen liegen als tägliche Zeitreihen vor, während die Daten des Gravity Recovery and Climate Experiment (GRACE) und des Satellite Laser Rangings (SLR) eine deutlich geringere zeitliche Auflösung aufweisen (zwischen zehn Tagen und einem Monat). Diese unterschiedlichen Auflösungen führen dazu, dass die täglichen Zeitreihen hohe Frequenzen enthalten, die in den GRACE- und SLR-Daten nicht vorhanden sind. Umgekehrt enthalten die EOP niedrige Frequenzen, die von den Anregungsfunktionen nicht modelliert werden. Diese Diskrepanz macht eine Filterung der Zeitreihen vor der kombinierten Analyse notwendig, um Frequenzen zu entfernen, die nicht in allen Zeitreihen vorkommen. Für die täglichen Zeitreihen wird ein Bandpassfilter zur Entfernung niedriger und hoher Frequenzen verwendet, während für die Schwerefeldkoeffizienten ein Hochpassfilter zum Einsatz kommt. Die Wahl des Filters wird mit dem Ziel getroffen, Artefakte durch Amplitudendämpfung und Phasenverschiebungen zu vermeiden, wobei die Herausforderung besteht, dass für die verschiedenen zeitlichen Auflösungen (täglich und monatlich) nicht exakt gleiche Filter angewendet werden können.

Ideale Filter, die Frequenzen außerhalb des Passbands vollständig eliminieren, sind nicht realisierbar, da ihr Impulsantwort unendlich lang ist. Daher wird nach einer optimalen Approximation an den idealen Filter gesucht. Die Dissertation diskutiert die Eigenschaften verschiedener Filter und betont, dass zur Vermeidung von Artefakten derselbe Filter für alle Zeitreihen angewandt werden muss. Aufgrund der unterschiedlichen zeitlichen Auflösungen der Zeitreihen ist dies jedoch nur näherungsweise möglich. Die Filter für tägliche und monatliche Daten müssen möglichst ähnlich sein, um die Entstehung von Artefakten nahe den Grenzfrequenzen zu minimieren. Ein Beispiel für die Filterung wird anhand der Length Of Day (LOD) und der C20-Zeitreihe gegeben. Es wird ein Bandpassfilter für LOD (Grenzfrequenzen f_l = 1/(3·365 Tage) und f_h = 1/60 Tage) und ein Hochpassfilter für C20 (Grenzfrequenz f_l = 1/(3·12 Monate)) angewandt. Die Amplitudenspektren zeigen, dass die Amplituden im Sperrbereich annähernd Null sind, während die charakteristischen jährlichen und halbjährlichen Peaks im Passbereich erhalten bleiben. Eine leichte Dämpfung der halbjährlichen Amplitude in LOD wird beobachtet, die jedoch als akzeptabel für die weitere Analyse erachtet wird.

Die Auswirkungen der Filterung auf die Ergebnisse, insbesondere auf die Berechnung der Tensorelemente des Trägheitstensors, werden analysiert. Zwei verschiedene Ansätze zur Approximation der Zeitableitungen der Polbewegung werden verglichen. Die Ergebnisse zeigen, dass beide Ansätze zu ähnlichen Resultaten führen, jedoch mit stochastischen Variationen. Die Unterschiede zwischen den beiden Ansätzen werden auf die unterschiedliche Approximation der Zeitableitungen zurückgeführt. Diese Variationen sind zwar groß, zeigen aber kein systematisches Verhalten. Die Dissertation vergleicht die EOP-Zeitreihen EOP DTRF2008 (DGFI) und EOP 08C04. Die Unterschiede bleiben innerhalb von ±0.4 mas (Polbewegung) und ±0.05 ms/Tag (LOD). Diese Unterschiede werden auf unterschiedliche Eingangsdaten, Gewichtungen und Parametrisierungen zurückgeführt. Eine Bandpassfilterung der LOD-Zeitreihen reduziert die Unterschiede auf unter ±0.02 ms. Die Arbeit erwähnt auch die Verwendung von GRACE und SLR Daten und deren unterschiedliche Auflösung, sowie die Berücksichtigung von Atmospheric-Ocean-De-Aliasing-Produkten (AOD1B) zur Berücksichtigung der nicht-gezeitenbedingten Massenverteilung von Atmosphäre und Ozeanen. Die Arbeit erwähnt explizit die Modelle ECMWF (für atmosphärische Beiträge) und OMCT (für ozeanische Beiträge) und diskutiert die Verwendung von GRACE GSM und GAC Produkten.

Die Ausgleichung der verschiedenen Zeitreihen erfolgt mit einem linearen, kleinste-Quadrate-Gauss-Helmert-Modell (GHM). Die Erdorientierungsparameter (EOP), die Schwerefeldkoeffizienten zweiter Ordnung (GFC2) von GRACE und SLR sowie die Anregungsfunktionen werden als (Pseudo-)Beobachtungen behandelt. Der Trägheitstensor der Erde ist die Unbekannte im Modell. A-priori-Varianz-Kovarianz-Matrizen (VCM) werden entweder mit den Zeitreihen bereitgestellt oder durch empirische Auto- und Kreuzkorrelationsfunktionen approximiert. Die Zeitreihen besitzen unterschiedliche zeitliche Auflösungen (täglich und monatlich), weshalb die täglichen Daten auf monatliche Epochenwerte heruntergerechnet werden müssen. Das Modell benötigt auch die unbeobachteten Zeitableitungen der Polbewegung, für deren Approximation verschiedene Ansätze untersucht werden. Insgesamt werden neun Zeitreihen (1x EOP, 2x Anregungsfunktionen, 5x GRACE GFC2, 1x SLR GFC2) über einen Zeitraum von fast sechs Jahren (April 2003 bis Februar 2009) ausgewertet. Die Datenquellen umfassen das IERS (EOP 08C04), das GFZ und JPL (Anregungsfunktionen), sowie sechs verschiedene Gravity Field Lösungen von CSR, GFZ, JPL, ITG und GRGS. Die verschiedenen Datenquellen und deren Verarbeitungsschritte werden erläutert und deren mögliche Auswirkungen auf die Ergebnisse diskutiert. Die Verwendung von verschiedenen Datenzentren und deren Einfluss wird ebenso thematisiert.

Die Ausgleichung liefert Residuen für jede Zeitreihe, die geschätzten Varianz- und Kovarianzkomponenten (VCC) und den angepassten Trägheitstensor. Die Residuen repräsentieren die Inkonsistenzen in den Daten, verursacht durch Messfehler oder ungenaue Modelle. Eine detaillierte Analyse der Residuen gibt Aufschluss über die Datenqualität. Die angepassten VCC hängen von den Residuen ab und bestimmen die a-posteriori-VCM der Zeitreihen. Die Umrechnung der a-posteriori-Standardabweichungen in eine gemeinsame Einheit (TU) erleichtert den Vergleich von Zeitreihen mit unterschiedlichen Einheiten. Je größer die transformierten Standardabweichungen, desto geringer der Beitrag der zugehörigen Zeitreihe zum angepassten Trägheitstensor. Der angepasste Trägheitstensor ist ein gewichtetes Mittel der aus den einzelnen Zeitreihen resultierenden Tensoren. Die Gewichte ergeben sich aus der Varianzkomponenten-Schätzung. EOP und Bewegungsterme tragen gemeinsam zum angepassten Trägheitstensor bei. Massenterme und die Differenz zwischen EOP und Bewegungstermen tragen etwa gleichgewichtig zu den äquatorialen Tensorelementen bei, während die axialen Massenterme das größte Gewicht haben. Die GFC2 tragen am geringsten bei. Die Ergebnisse werfen weitere Fragen auf, die in einem weiteren Abschnitt untersucht werden.

Die Analyse der Ergebnisse führt zu weiteren offenen Fragen, die im Folgenden untersucht werden. Die Ergebnisse basieren auf gefilterten Daten, weshalb die Ausgleichung auch mit ungefilterten Daten wiederholt wird. Dabei werden lineare Trends entfernt, um systematische Effekte zu berücksichtigen. Die Analyse der Residuen zeigt, dass viele Residuen jährliche Perioden aufweisen. Die EOP-Residuen sind generell klein, während die Residuen der äquatorialen Bewegungsterme teilweise größer als die beobachteten Bewegungsterme sind. Dies wird auf die Approximation der Zeitableitungen der Polbewegung zurückgeführt. Die Untersuchung der Auswirkungen der Filterung auf die Ergebnisse zeigt, dass langperiodische Signale in den Residuen nicht auf Filterartefakte, sondern auf reale Signale zurückzuführen sind. Ein weiterer Aspekt ist die Untersuchung des Einflusses der Tensor-Spurenbedingung. Die Vernachlässigung dieser Bedingung führt zu deutlichen Unterschieden in den Tensorelementen c_xx und c_yy, während c_zz kaum betroffen ist. Die Spurabweichung des Trägheitstensors zeigt jährliche Variationen, verursacht durch inkonsistente axiale Zeitreihen. Die Analyse der Kovarianzen zwischen den GFC2 und den Schwerefeldkoeffizienten höherer Grade zeigt, dass höhere Korrelationen zu größeren Residuen führen und die resultierenden Potentialkarten beeinflusst werden.