Satellitenschwerefeldinversion mit SRBF

Die Arbeit befasst sich mit der regionalen Schwerefeldmodellierung, einem Verfahren zur hochgenauen Bestimmung des Erdschwerefeldes in begrenzten Gebieten. Im Gegensatz zur globalen Modellierung, die mit sphärisch-harmonischen Funktionen arbeitet, wird hier ein Ansatz mit sphärischen radialen Basisfunktionen (SRBF) verfolgt. SRBFs bieten den Vorteil einer besseren räumlichen Lokalisierung und ermöglichen die effizientere Berechnung hoch aufgelöster Modelle. Allerdings führt der Einsatz von SRBFs zu einem schlecht gestellten inversen Problem, da die resultierenden Beobachtungsgleichungen streng inkonsistent sind. Die Lösung dieses Problems erfordert den Einsatz geeigneter Regularisierungsverfahren, was ein zentrales Thema der vorliegenden Arbeit darstellt. Die Arbeit zielt darauf ab, neue Regularisierungsmethoden für regionale Schwerefeldlösungen zu entwickeln, basierend auf Satellitendaten von Missionen wie GRACE und GOCE. Die Auswahl geeigneter SRBF-Parameter (Form, Position, Behandlung von Randeffekten) stellt dabei eine große Herausforderung dar, da es keinen Standardansatz gibt. Die Kombination der verschiedenen Wahlmöglichkeiten macht es nahezu unmöglich, ein Standardverfahren zu definieren. Die Arbeit befasst sich daher auch mit der Entwicklung einer systematischen Methodik zum Aufbau regionaler Modelle mit SRBFs.

Die Arbeit erläutert zunächst die grundlegenden Konzepte der Satellitengravimetrie und Satellitengradiometrie. Es werden verschiedene mathematische Modelle vorgestellt, die den funktionalen Zusammenhang zwischen Satellitenbeobachtungen (z.B. von GRACE und GOCE) und dem Gravitationspotential beschreiben. Die Arbeit vergleicht die Genauigkeit globaler Schwerefeldmodelle, die sowohl mit sphärisch-harmonischen Funktionen als auch mit SRBFs berechnet wurden, und zeigt die Äquivalenz beider Ansätze auf globaler Skala. Das räumliche Muster der geschätzten Skalierungskoeffizienten der SRBF auf globaler Ebene liefert wertvolle Vorinformationen für die anschließende regionale Modellierung. Diese Vorinformationen können dazu genutzt werden, die unbekannten Parameter im regionalen Modell besser einzuschränken und die Genauigkeit zu verbessern. Die Arbeit beschreibt außerdem unterschiedliche Ansätze zur Bestimmung des Schwerefeldes aus Satellitendaten, darunter der Zwei-Schritt- und der Ein-Schritt-Ansatz sowie der Short-Arc-Ansatz für die Orbitbestimmung. Letzterer dient der Kontrolle von akkumulierten Störungen und ermöglicht die Verarbeitung von Daten auch bei längeren Beobachtungszeiträumen.

Dieser Abschnitt konzentriert sich auf die spezifischen Herausforderungen und Möglichkeiten der regionalen Schwerefeldmodellierung mit SRBFs. Es werden verschiedene Entscheidungsfaktoren detailliert besprochen, die den Aufbau eines regionalen Modells beeinflussen. Dazu gehören die Wahl der SRBF-Form (z.B. Shannon-Kernel, CuP, Blackman, Splines), die optimale Platzierung der Basisfunktionen, die Berücksichtigung von Randeffekten und die Reduktion langwelliger Schwerefeldanteile durch Verwendung eines a-priori-Modells. Die Arbeit unterstreicht die große Bandbreite an Optionen und den Mangel an Standardverfahren in diesem Bereich. Die Autoren schlagen eine systematische Vorgehensweise vor, um diese Entscheidungen zu treffen und ein geeignetes regionales Modell zu erstellen. Ein zentraler Aspekt ist die Behandlung des schlecht gestellten inversen Problems, das durch die inkonsistenten Beobachtungsgleichungen entsteht. Dies wird im nächsten Abschnitt ausführlicher behandelt. Die Arbeit erwähnt verschiedene Forschungsarbeiten, die sich mit einzelnen Aspekten der regionalen Modellierung beschäftigt haben, wie z.B. die optimale Wahl der SRBF-Form oder die Auswirkung unterschiedlicher Gittertypen. Trotz dieser Vorarbeiten fehlt jedoch eine umfassende, systematische Methodik, die die Arbeit zu entwickeln versucht.

Dieser Abschnitt legt die mathematischen Grundlagen der verwendeten Methoden dar. Es werden die fundamentalen Konzepte der Satellitengravimetrie und -gradiometrie erläutert, die die Grundlage für die Gewinnung von Daten zum Erdschwerefeld bilden. Mehrere mathematische Modelle werden präsentiert, die den funktionalen Zusammenhang zwischen den Satellitenbeobachtungen und dem Gravitationspotential beschreiben. Diese Modelle bilden die Basis für die spätere Modellierung des Schwerefeldes. Die verschiedenen Modelle berücksichtigen die spezifischen Eigenschaften der jeweiligen Satellitenmissionen und die Art der gemessenen Daten. Die Genauigkeit und Zuverlässigkeit der aus Satellitendaten gewonnenen Ergebnisse hängen stark von der Qualität der mathematischen Modelle ab. Die Auswahl des geeigneten Modells hängt von verschiedenen Faktoren ab, wie der Genauigkeit der Messdaten, den räumlichen Auflösungsanforderungen und den Rechenkosten. Eine detaillierte Beschreibung der Modelle und ihrer Eigenschaften ist essenziell für ein tiefes Verständnis der in dieser Arbeit präsentierten Ergebnisse.

Ein Vergleich der Modellierung des Erdschwerefeldes mit sphärisch-harmonischen Funktionen und sphärischen radialen Basisfunktionen (SRBF) auf globaler Skala bildet den Schwerpunkt dieses Teils. Beide Ansätze werden mathematisch beschrieben und ihre Genauigkeiten numerisch verglichen. Die Ergebnisse zeigen, dass beide Methoden auf globaler Ebene vergleichbare Genauigkeiten liefern. Dies ist ein wichtiger Aspekt, da es zeigt, dass die SRBFs, die im weiteren Verlauf für die regionale Modellierung verwendet werden, ein geeignetes Werkzeug zur Darstellung des Schwerefeldes darstellen. Das räumliche Muster der geschätzten Skalierungskoeffizienten der SRBF auf globaler Ebene wird analysiert. Diese Analyse liefert wertvolle Vorinformationen über die zu erwartende Geometrie der Koeffizienten in der regionalen Modellierung. Die gewonnenen Erkenntnisse helfen, die unbekannten Parameter im regionalen Modell besser einzuschränken und die Genauigkeit und Stabilität der regionalen Lösungen zu verbessern. Die Ergebnisse der globalen Modellierung dienen somit als Grundlage und Referenz für die darauf aufbauende regionale Analyse.

Dieser Teil beschreibt die für die regionale Schwerefeldmodellierung verwendeten Datenquellen und Datentypen. Es werden sowohl simulierte GRACE-Daten mit hinzugefügtem farbigem Rauschen als auch reale GOCE-Gradiometriedaten verwendet. Die Verwendung simulierter Daten ermöglicht eine kontrollierte Untersuchung der Methoden und Algorithmen, während die realen GOCE-Daten die Validierung und Anwendung der entwickelten Methoden unter realistischen Bedingungen erlauben. Die simulierten GRACE-Daten erlauben eine detaillierte Analyse der Einflüsse von Rauschen und anderen Störungen auf die Ergebnisse. Die Verwendung realer GOCE-Daten dient der Validierung der entwickelten Methoden und der Abschätzung ihrer Leistungsfähigkeit unter realistischen Bedingungen. Die Auswahl der Testgebiete - Skandinavien, Zentralafrika und Südamerika (Anden) - wurde aufgrund ihrer geografischen Lage und des unterschiedlichen Signalgehalts getroffen, um die Leistungsfähigkeit der Methoden unter verschiedenen Bedingungen zu evaluieren. Die spezifischen Eigenschaften der GRACE und GOCE Daten, wie z.B. die räumliche und zeitliche Auflösung, werden im Kontext der Modellierung berücksichtigt.

Die regionale Modellierung mit SRBFs erfordert eine Reihe von Entscheidungen, die die Genauigkeit und Effizienz des Verfahrens stark beeinflussen. Die Wahl der Form der sphärischen radialen Basisfunktionen (z.B. Shannon-Kernel, CuP, Blackman, Splines) ist entscheidend. Auch die Position der Basisfunktionen auf der Kugeloberfläche muss festgelegt werden. Die Arbeit diskutiert die Verwendung von festen und frei positionierten Basisfunktionen, wobei letztere eine nichtlineare Problemstellung erzeugen. Ein weiterer wichtiger Aspekt ist die Behandlung von Randeffekten, die durch die Beschränkung der Modellierung auf ein regionales Gebiet entstehen. Hierzu wird die Definition von drei Zonen (Modellzone, Datenzone, Gitterzone) eingeführt, um die Randbedingungen zu kontrollieren und die Genauigkeit zu verbessern. Die Entfernung langwelliger Anteile des Schwerefeldes durch Subtraktion eines a-priori-Modells, wie z.B. GOCO03s, EGM2008 oder EGM1996, wird ebenfalls als wichtiger Schritt zur Verbesserung der Genauigkeit der regionalen Lösung hervorgehoben. Die Wahl der Methode zur Bestimmung der unbekannten Skalierungskoeffizienten (Inversionsmethode) beeinflusst ebenfalls das Ergebnis. Die Arbeit untersucht die Auswirkungen dieser verschiedenen Parameter und schlägt eine systematische Methodik vor, um ein optimales regionales Modell zu erstellen, das die verschiedenen Trade-offs zwischen Genauigkeit und Rechenaufwand berücksichtigt.

Die Arbeit unterscheidet zwischen bandbegrenzten und nicht-bandbegrenzten SRBFs. Bandbegrenzte Funktionen haben einen endlichen Frequenzbereich (N_max), was die Berechnung vereinfacht, aber auch zu einem Informationsverlust führen kann, falls der tatsächliche Signalinhalt den definierten Frequenzbereich übersteigt. Nicht-bandbegrenzte SRBFs, wie der Punktmassen-Kernel, können den gesamten Frequenzbereich erfassen, benötigen aber eine sorgfältige Regularisierung um numerische Instabilitäten zu vermeiden. Die Wahl zwischen bandbegrenzten und nicht-bandbegrenzten SRBFs hängt von der Beschaffenheit der Eingangsdaten und der gewünschten Genauigkeit ab. Für die Analyse von Satellitendaten, wie GRACE oder GOCE, werden bandbegrenzte SRBFs als geeignet erachtet, da das Signal durch die Satellitenhöhe bereits bandbegrenzt ist. Die Arbeit konzentriert sich auf bandbegrenzte SRBFs, da der Fokus auf der Analyse von Satellitendaten liegt. Die Auswahl des optimalen N_max hängt von der Signal-Rausch-Verhältnis (SNR) der Daten ab und muss sorgfältig erfolgen, um einen optimalen Kompromiss zwischen Auflösung und Rauschreduktion zu finden.

Ein wesentliches Problem bei der regionalen Modellierung ist die Entstehung von Randeffekten. Die Beschränkung der Beobachtungen auf eine Region führt zu Artefakten an den Rändern des Modellierungsgebietes, da das Gravitationspotential von der Massenverteilung des gesamten Globus beeinflusst wird. Die Arbeit beschreibt, wie die Entfernung der langwelligen Anteile des Schwerefeldes (globalen Strukturen) aus den Beobachtungsvektoren dieses Problem reduziert. Dies erfolgt durch die Subtraktion eines a-priori-Geopotentialmodells, welches die globalen langwelligen Strukturen repräsentiert, von den Beobachtungen. Die Auswahl des geeigneten a-priori-Modells und des Abschneidegrades (N_min) ist ebenfalls ein wichtiger Aspekt der Modellierung. Die Definition der Datenzone, die über die Modellzone hinausgeht, dient ebenfalls dazu, Randeffekte zu minimieren. Die Beobachtungen innerhalb der Datenzone werden in die Parameterschätzung einbezogen, um die Auswirkung des „Abschneidens“ der Daten an den Rändern zu verringern. Die Arbeit betont die Bedeutung der sorgfältigen Auswahl dieser Parameter für die Qualität der regionalen Lösungen.

Die regionale Schwerefeldmodellierung mit SRBFs führt zu einem schlecht gestellten inversen Problem. Dies liegt an der starken Inkonsistenz der resultierenden Beobachtungsgleichungen, unabhängig von der Wahl der Modellparameter. Die daraus resultierenden Design- und Normalmatrizen sind stark schlecht konditioniert, was die Bestimmung einer eindeutigen und stabilen Lösung mit Standardmethoden der Ausgleichungsrechnung erschwert. Kleine Änderungen in den Eingangsdaten (z.B. Messfehler) können zu großen Veränderungen in der Lösung führen. Um sinnvolle Ergebnisse zu erhalten, ist der Einsatz von Regularisierungsverfahren notwendig. Diese Verfahren zielen darauf ab, die Instabilitäten des Problems zu reduzieren und eine stabile, physikalisch plausible Lösung zu finden. Die Wahl der Regularisierungsmethode und des zugehörigen Regularisierungsparameters ist entscheidend für die Qualität der Ergebnisse. Ein ungeeigneter Regularisierungsparameter kann zu einer Über- oder Unterglättung der Lösung führen, was zu einem Verlust an Informationen oder zu unrealistischen Artefakten im Modell führt. Die Auswahl eines geeigneten Verfahrens ist daher von zentraler Bedeutung.

Die Arbeit konzentriert sich auf die Tikhonov-Regularisierung als eine etablierte Methode zur Lösung schlecht gestellter Probleme. Bei der Tikhonov-Regularisierung wird ein Regularisierungsparameter (γ²) benötigt, der den Kompromiss zwischen der Minimierung der Residuen und der Glättung der Lösung steuert. Die Wahl dieses Parameters ist kritisch und erfordert ein sorgfältiges Abwägen. Zu große Werte führen zu einer Überglättung und Informationsverlust, zu kleine Werte zu einer instabilen, physikalisch unrealistischen Lösung. Die Arbeit beschreibt mehrere bekannte Methoden zur Auswahl des Regularisierungsparameters, darunter die Varianzkomponenten-Schätzung (VCE), die generalisierte Kreuzvalidierung (GCV) und die L-Kurven-Methode. Diese Methoden werden im Hinblick auf ihre Eigenschaften und Eignung für die regionale Schwerefeldmodellierung mit SRBFs diskutiert. Vorherige Studien von Kusche & Klees (2002), Save (2009), Save & Bettadpur (2012) und Ramillien et al. (2011) zum Einsatz der L-Kurven-Methode in der Gravimetrie werden erwähnt, wobei deren Vor- und Nachteile beleuchtet werden.

Als Hauptbeitrag der Arbeit wird eine neue Methode zur Auswahl des Regularisierungsparameters vorgestellt: die Parameter-Signal-Korrelation (PSC). Diese Methode ist speziell auf die Regularisierung schlecht gestellter Probleme zugeschnitten, bei denen SRBFs als Basisfunktionen dienen. Die PSC-Methode basiert auf der Idee, dass die Skalierungskoeffizienten αk die Geometrie des Residuum-Gravitationspotentials oder der Geoidhöhen repräsentieren. Daher sollten die geschätzten Koeffizienten αk eine hohe Korrelation mit dem Zielpotential auf der Erdoberfläche aufweisen. Die Wahl des Regularisierungsparameters wird so optimiert, dass diese Korrelation maximiert wird. Die Arbeit vergleicht die Ergebnisse der PSC-Methode mit den Ergebnissen der etablierten Methoden VCE, GCV und der L-Kurven-Methode anhand von numerischen Beispielen. Es wird gezeigt, dass die PSC-Methode in vielen Fällen zu einer verbesserten Genauigkeit der regionalen Schwerefeldlösungen führt, insbesondere in Regionen mit geringer Datenabdeckung. Die geringe Abhängigkeit des PSC-Verfahrens von a-priori-Geopotentialmodellen wird ebenfalls hervorgehoben.

Die numerischen Ergebnisse werden zunächst anhand simulierter GRACE-Daten gewonnen. Es wird eine globale Schwerefeldlösung mittels sphärischer Harmonischer bis Grad und Ordnung 120 berechnet und mit mehreren regionalen Lösungen verglichen, die auf denselben Daten basieren. Für die regionalen Lösungen werden verschiedene Methoden zur Wahl des Regularisierungsparameters eingesetzt: Varianzkomponenten-Schätzung (VCE), generalisierte Kreuzvalidierung (GCV), L-Kurven-Methode und die neu entwickelte Parameter-Signal-Korrelation (PSC)-Methode. Die Qualität der Lösungen wird anhand der Root Mean Square (RMS) Abweichungen der Geoidhöhen im Vergleich zu einem Referenzmodell (GOCO03s) beurteilt. Die Ergebnisse zeigen die Vorteile der regionalen Modellierung, insbesondere in Bezug auf Rechenaufwand und Genauigkeit. Die Reduktion der Anzahl der unbekannten Parameter und der Beobachtungen führt zu einer deutlichen Verringerung der Rechenkosten, ohne dass die Genauigkeit der regionalen Lösungen, im Vergleich zu der globalen Lösung, nennenswert beeinträchtigt wird. In den Testgebieten (Skandinavien, Zentralafrika, Südamerika (Anden)) zeigen sich Unterschiede in der Genauigkeit der regionalen Lösungen, die auf die unterschiedliche Dichte der Satellitenspuren und den Signalgehalt zurückzuführen sind.

Zur Validierung der Ergebnisse werden zusätzlich reale GOCE-Gradiometriedaten verwendet. Hierbei wird der Fokus auf die Vzz-Komponente gelegt. Die Daten umfassen einen Zeitraum von zwei Monaten. Um den Rechenaufwand zu reduzieren, wird ein gleitender Mittelwertfilter angewendet, welcher gleichzeitig das Rauschen reduziert. Auch hier werden die vier Regularisierungsmethoden (VCE, GCV, L-Kurve und PSC) zur Bestimmung der regionalen Lösungen eingesetzt. Die resultierenden regionalen Lösungen werden mit den globalen Modellen EGM2008 und GOCO03s verglichen. EGM2008 enthält keine GOCE-Daten, während GOCO03s ein kombiniertes Modell aus GRACE und GOCE ist. Der Vergleich zeigt die Verbesserung der Genauigkeit der regionalen Lösungen im Vergleich zu EGM2008, insbesondere in Gebieten mit geringer terrestrischer Datenabdeckung (Anden, Zentralafrika). Die Ergebnisse bestätigen das Potential der SRBF-basierten regionalen Modellierung und deren Überlegenheit gegenüber rein globalen Modellen in Bezug auf die Genauigkeit und Effizienz. Die Verwendung des Reuter-Gitters wird gegenüber dem Fibonacci-Gitter bevorzugt, da keine signifikanten Unterschiede in den Ergebnissen festgestellt wurden.

Die Validierung der regionalen Schwerefeldmodelle erfolgt anhand verschiedener Kriterien. Die Arbeit beschreibt die gängigen Verfahren zur Validierung von satellitenbasierten Schwerefeldlösungen, wie z.B. den Vergleich mit unabhängigen Daten wie GPS-Nivellementsdaten, absoluten und relativen Gravimetriedaten und Satellitenaltimetriedaten. Es wird betont, dass die Residuen sowohl auf Satellitenhöhe als auch auf der Erdoberfläche minimiert werden sollen. Die Arbeit verweist auf relevante Studien zur Validierung von Schwerefeldmodellen (Gruber 2004, Gruber et al. 2011, Gruber 2009, Tapley et al. 2005, Ihde et al. 2010, Voigt 2012), die verschiedene Validierungsstrategien verwenden. Die Qualität der regionalen Lösungen wird anhand der RMS-Werte der Geoidhöhenunterschiede im Vergleich zu Referenzmodellen (GOCO03s, EGM2008) bewertet. Die Ergebnisse zeigen, dass die PSC-Methode im Vergleich zu anderen Methoden die geringsten RMS-Werte liefert, was die Effektivität dieser neuen Regularisierungsmethode unterstreicht. Die verbesserte Genauigkeit der regionalen Lösungen im Vergleich zu älteren globalen Modellen wie EGM2008 wird als Beleg für das Potential des vorgestellten Ansatzes gewertet.