Grundwissen der Analysis: Zusammenfassung der 2. Vorlesungswoche

Eine Folge (a_n) konvergiert gegen a, wenn für jedes ε > 0 ein Index n0 existiert, sodass für alle n ≥ n0 gilt: |a_n - a| ≤ ε.

Wenn (a_n) gegen a und (b_n) gegen b konvergieren, dann gilt:

• (a_n + b_n) konvergiert gegen a + b
• (a_n * b_n) konvergiert gegen a * b
• (a_n / b_n) konvergiert gegen a / b, falls b_n ≠ 0 für alle n
• |a_n| konvergiert gegen |a|
• Wenn a_n ≤ b_n für alle n ≥ N, dann a ≤ b
• Wenn a_n ≤ c_n ≤ b_n für alle n ≥ N, dann lim(c_n) = a.

Wichtige Grenzwertsätze sind: -Sandwichprinzip: Wenn (a_n), (b_n) und (c_n) konvergieren und für alle n ≥ N gilt: a_n ≤ b_n ≤ c_n, dann konvergiert (b_n) gegen lim(a_n) = lim(c_n). -Monotonieprinzip: Wenn (a_n) monoton steigt und beschränkt ist, dann konvergiert (a_n) gegen sup({a_n : n ∈ N}). -Unendliche Divergenz: Wenn für jedes R ≥ 0 ein Index n0 existiert, sodass für alle n ≥ n0 gilt: a_n ≥ R, dann divergiert (a_n) gegen ∞. -Unendliche negative Divergenz: Wenn für jedes R ≥ 0 ein Index n0 existiert, sodass für alle n ≥ n0 gilt: a_n ≤ -R, dann divergiert (a_n) gegen -∞.

Wenn (a n ) n∈ N gegen a und (b n ) n∈ N gegen b konvergiert, dann konvergiert (a n + b n ) n∈ N gegen a + b und (a n b n ) n∈ N gegen ab.

Wenn (a n ) n∈ N gegen a, (b n ) n∈ N gegen b konvergiert und b n ≠ 0 für alle n ∈ N sowie b ≠ 0 gilt, dann konvergiert (a n / b n ) n∈ N gegen a / b.

Wenn (a n ) n∈ N , (b n ) n∈ N und (c n ) n∈ N Folgen in R sind, a n ≤ c n ≤ b n für alle n ≥ N gilt und lim n→∞ a n = lim n→∞ b n = a, dann gilt auch lim n→∞ c n = a.

Ist (a n ) n∈ N eine monotone steigende und beschränkte Folge reeller Zahlen, so konvergiert sie gegen sup{a n : n ∈ N}.

Eine Folge (a n ) n∈ N in R heißt bestimmt divergent (oder uneigentlich konvergent) gegen ∞, wenn für jedes R ≥ 0 ein n 0 ∈ N existiert, so dass für alle n ≥ n 0 gilt: a n ≥ R. Gleiches gilt für die bestimmte Divergenz gegen −∞.

Definitionen:

• Monoton steigende Folge:a_n ≤ a_{n+1} für alle n ∈ ℕ
• Monoton fallende Folge:a_{n+1} ≤ a_n für alle n ∈ ℕ
• Streng monoton steigende Folge:a_n < a_{n+1} für alle n ∈ ℕ
• Streng monoton fallende Folge:a_{n+1} < a_n für alle n ∈ ℕ

Beispiele:

• (1/n)_{n∈ℕ} ist streng monoton fallend.

Satz: Jede monotone und beschränkte Folge konvergiert.

Eine Wurzel einer nichtnegativen reellen Zahl a ist eine nichtnegative reelle Zahl b, sodass gilt: b^n = a. Für jede positive ganze Zahl n existiert genau eine positive Wurzel. Diese Wurzel wird bezeichnet als n-te Wurzel aus a und mit √(a) notiert.

Für positive reelle Zahlen a und rationale Zahlen x lässt sich die x-te Potenz von a definieren als a^x = √(a^p), wobei p und q geeignete ganze Zahlen sind, sodass x = p/q. Diese Definition ist unabhängig von der Wahl von p und q, solange p/q = x gilt. Die bekannten Potenzgesetze gelten auch für rationale Exponenten.

Für positive reelle Zahlen a und b und rationale Zahlen x und y mit x > 0 gilt: a^x < b^x, und für x < 0 gilt: b^x < a^x.