Analysis - Skript zur Vorlesung für Grund-, Mittel- und Förderschullehramt

Mengen sind die Zusammenfassung von mathematischen Objekten zu einem neuen mathematischen Objekt, wobei die Ausgangsobjekte die sogenannten Elemente der Menge bilden. Mengen können auch Mengen als Elemente enthalten. Abbildungen (Funktionen) zwischen zwei Mengen sind zusammen mit Mengenbegriffen grundlegend für die gesamte Mathematik und werden daher in diesem einleitenden Kapitel kurz vorgestellt.

Neben den Arithmetischen Operationen verfügen reelle Zahlen auch über eine Ordnungsrelation <, mit deren Hilfe die Größe zweier reeller Zahlen verglichen werden kann. Das Archimedische Axiom besagt, dass jede reelle Zahl von einer natürlichen Zahl übertroffen wird. N ist als Teilmenge von R nach oben unbeschränkt.

Das Prinzip der vollständigen Induktion und das Prinzip der rekursiven Definitionen werden in diesem Abschnitt erläutert. Eine Folge in einer Menge A ist eine Abbildung f von N nach A, wobei für den Funktionswert an einer Stelle n ∈ N gern an (oder bn, cn etc.) anstelle von f(n) geschrieben wird.

Eine Folge (an)n∈ N reeller Zahlen heißt Cauchy-Folge, wenn sie die Bedingung erfüllt: Für jedes ε > 0 existiert ein N ∈ N, so dass für alle m, n ≥ N gilt: |am − an| < ε. Der Satz von Bolzano-Weierstraß besagt, dass jede beschränkte Folge reeller Zahlen eine konvergente Teilfolge besitzt, also einen Häufungspunkt hat.

Die Dezimaldarstellung reeller Zahlen wird mithilfe des Satzes zur Existenz und Eindeutigkeit dieser Entwicklungen eingeführt. Eine reelle Zahl x ≥ 0 ist genau dann rational, wenn ihre Dezimaldarstellung periodisch ist. Die Verwendung der Basis 10 spielt dabei keine besondere Rolle.

Eine Funktion f ist an einer Stelle a stetig, wenn für jedes ε > 0 ein δ > 0 existiert, sodass für alle x mit |x − a| < δ gilt: |f(x) − f(a)| < ε. Stabilitätseigenschaften von stetigen Funktionen werden ebenfalls untersucht.

Sinus und Kosinus werden nicht geometrisch, sondern analytisch definiert. Sinus und Kosinus sind stetige Funktionen und erfüllen die Beziehung sin2(x) + cos2(x) = 1.

Die Taylor-Approximation ist ein Verfahren, um eine n-mal differenzierbare Funktion in der Umgebung einer Stelle a durch ein Polynom vom Grad ≤ n zu approximieren.

Die Integralrechnung befasst sich mit der Berechnung des Flächeninhalts, der von einem Funktionsgraphen und der horizontalen Koordinatenachse eingeschlossen wird. Treppenfunktionen werden verwendet, um den Integralbegriff zu präzisieren. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besagt, dass Integration und Differentiation Umkehroperationen sind.

Eine Funktionenfolge (fn)n∈ N ist punktweise konvergent gegen f, wenn für jedes x aus dem Definitionsbereich von f gilt: lim n→∞ fn(x) = f(x). Stetigkeit bleibt bei punktweiser Konvergenz nicht unbedingt erhalten.

Eine Potenzreihe ist eine Reihe der Form ∑ k=0 ∞ a k (x−a) k. Der Konvergenzradius R einer Potenzreihe ist die größte Zahl R ≥ 0, sodass die Reihe für alle x mit |x − a| < R absolut konvergent ist. Die Potenzreihe kann an den Randpunkten a − R und a + R möglicherweise nicht konvergieren.

Eine gewöhnliche Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der eine unbekannte Funktion y und ihre Ableitungen y0, y00 usw. auftreten. Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung haben die Form y0(t) = f(t, y(t)). Der Satz von Picard-Lindelöf liefert eine hinreichende Bedingung für die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung.

Numerische Integration ist die numerische Berechnung eines Integrals. Die Trapezregel, die Simpson-Regel und die Mitte-Riemann-Regel sind gängige Verfahren für die numerische Integration.

Das Volumen eines Rotationskörpers Kf, der durch Rotation der von der x-Achse und dem Graphen von f eingeschlossenen Fläche um die x-Achse entsteht, wird berechnet als Integral über den Querschnittsflächeninhalt des Rotationskörpers.

Das Newton-Verfahren ist ein numerisches Verfahren zur Näherungsberechnung einer Nullstelle einer Funktion f. Es basiert auf der lokalen linearen Approximation von f durch ihre Tangente.

Die hinreichenden Bedingungen für lokale Extrema von Funktionen mehrerer Variablen sind schwieriger zu formulieren und erfordern die Einführung weiterer Konzepte wie totale Differenzierbarkeit, zweite partielle Ableitungen und die Hesse-Matrix.

Eine Folgenreihe (a n ) n∈ N reeller Zahlen heißt Cauchy-Folge, wenn sie die folgende Bedingung erfüllt:

Für jedes ε > 0 existiert ein N ∈ N, sodass für alle m, n ∈ N mit m ≥ N und n ≥ N gilt: |a m − a n | < ε.

Ein metrischer Raum (X, d) heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in X konvergiert gegen ein Element aus X.

In Abschnitt IV.3 der bereitgestellten Literatur wird die Dezimaldarstellung reeller Zahlen mathematisch präzise eingeführt. Sie beginnt mit dem Satz zur Existenz und Eindeutigkeit dieser Entwicklungen. Jede reelle Zahl lässt sich eindeutig als Summe von Vielfachen von Zehnerpotenzen darstellen, wobei die Koeffizienten dieser Vielfachen aus der Menge der Ziffern {0, 1, 2, ..., 9} stammen müssen. Anschließend wird bewiesen, dass eine reelle Zahl genau dann rational ist, wenn ihre Dezimaldarstellung periodisch ist. Dies bedeutet, dass sich nach einer endlichen Anzahl von Ziffern ein sich wiederholendes Muster in der Darstellung zeigt. Als Verallgemeinerung der Dezimaldarstellung werden auch Darstellungen in anderen Basen als 10 betrachtet, die als q-adische Darstellungen bezeichnet werden.

Der Abschnitt V.1 definiert Stetigkeit und Unstetigkeit von Funktionen an einem Punkt. Eine Funktion ist an einem Punkt stetig, wenn ihre Funktionswerte sich beliebig wenig ändern, wenn man sich dem Punkt beliebig wenig nähert. Im Gegensatz dazu ist eine Funktion an einem Punkt unstetig, wenn sich ihre Funktionswerte bei Annäherung an den Punkt beliebig stark ändern können. Beispiele für stetige und unstetige Funktionen werden gegeben, und es wird gezeigt, dass die Summe, Differenz und das Produkt stetiger Funktionen ebenfalls stetig sind. Außerdem wird der Begriff der gleichmäßigen Stetigkeit eingeführt, der eine gleichmäßige Konvergenz der Funktionswerte in einer Umgebung des betrachteten Punktes erfordert.

Abschnitt VI.3 beschäftigt sich mit Grenzwerten und Taylorsche Polynome. Grenzwerte werden als Werte definiert, denen sich eine Funktion bei Annäherung an einen bestimmten Punkt unbegrenzt nähert, ohne diesen Punkt selbst erreichen zu müssen. Es werden verschiedene Grenzwertsätze vorgestellt, darunter der Satz von L'Hospital, der zur Berechnung von Grenzwerten verwendet werden kann, die in unbestimmter Form vorliegen. Darüber hinaus werden Taylorsche Polynome eingeführt, die lokale Approximationen von Funktionen durch Polynome darstellen. Es wird gezeigt, dass unter bestimmten Bedingungen der Fehler zwischen der Funktion und ihrem Taylorschen Polynom mit höherer Ordnung des Polynoms gegen Null konvergiert.

Abschnitt VII.1 führt den Begriff der Stammfunktion ein, einer Funktion, deren Ableitung gleich der gegebenen Funktion ist. Es wird gezeigt, dass Stammfunktionen nicht eindeutig sind und dass die Ableitung einer Summe von Funktionen gleich der Summe ihrer Ableitungen ist. Anschließend wird das Integral als eine Verallgemeinerung der Summe von Funktionswerten über ein Intervall definiert. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung wird vorgestellt, der eine Verbindung zwischen Stammfunktionen und Integralen herstellt.

Abschnitt VIII.1 beschäftigt sich mit Folgen und Reihen. Folgen sind Abbildungen von den natürlichen Zahlen in eine Menge, während Reihen Summen von Folgengliedern sind. Es werden verschiedene Konvergenzbegriffe für Folgen und Reihen eingeführt, darunter Grenzwertkonvergenz, absolute Konvergenz und gleichmäßige Konvergenz. Es werden auch einige Sätze zur Untersuchung der Konvergenz von Reihen vorgestellt, wie z. B. das Quotientenkriterium und das Wurzelkriterium.

Abschnitt VIII.5 führt den Begriff der gewöhnlichen Differentialgleichung ein, einer Gleichung, die eine unbekannte Funktion und ihre Ableitungen enthält. Es wird gezeigt, dass Lösungen solcher Gleichungen im Allgemeinen bis auf eine Konstante eindeutig bestimmt sind. Es werden verschiedene Methoden zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung vorgestellt, darunter die Methode der Trennung der Variablen und die Methode der integrierenden Faktoren.

Stetigkeit einer Funktion f an der Stelle a bedeutet, dass für jedes ε > 0 ein δ > 0 existiert, sodass für alle x ∈ D mit |x - a| < δ auch |f(x) - f(a)| < ε gilt. Anschaulich bedeutet dies, dass "liegt x dicht bei a, so liegt auch f(x) dicht bei f(a)".

Stabilitätseigenschaften stetiger Funktionen:

• Die Summe, Differenz und das Produkt stetiger Funktionen sind wieder stetig.
• Der Quotient zweier stetiger Funktionen ist stetig, solange der Nenner nicht Null ist.

In diesem Abschnitt geht es darum, eine n-mal differenzierbare Funktion in der Umgebung einer Stelle a durch ein Polynom vom Grad ≤ n zu approximieren. Für eine differenzierbare Funktion f kann man die Tangente an den Graphen von f an der Stelle a verwenden.

Der Integralbegriff ist das grundlegende Konzept der Integralrechnung und beinhaltet die Berechnung des Flächeninhalts, der von einem Funktionsgraphen und der horizontalen Koordinatenachse eingeschlossen wird. Es basiert auf der Idee, die Fläche durch Rechteckstreifen zu approximieren, deren Flächeninhalt leicht berechnet werden kann.

Eine Stammfunktion F(x) einer Funktion f(x) ist eine Funktion, deren Ableitung f(x) ergibt. Stammfunktionen spielen eine entscheidende Rolle bei der Integration, da das Integral von f(x) über ein Intervall [a, b] als F(b) - F(a) berechnet werden kann.

Die Integralrechnung bietet eine Reihe von Regeln zur Vereinfachung von Integralen, wie z. B. die Summen- und Produktregel, die Kettenregel und die Integrationsregeln für Potenz- und Exponentialfunktionen.

Die Integralrechnung findet vielfältige Anwendungen in verschiedenen Bereichen, darunter die Berechnung von Flächeninhalten, Volumina, Längen von Kurven und Arbeit, die von einer Kraft über einen Weg geleistet wird.

In manchen Fällen ist es nicht möglich, ein Integral exakt auszurechnen. In solchen Fällen werden numerische Methoden wie die Trapezregel oder die Simpson-Regel verwendet, um das Integral näherungsweise zu berechnen.

Zur Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers, auch Rotationsparaboloid genannt, wird das Integral des Quadrats der Funktion über dem angegebenen Intervall verwendet, d. h. V = ∫[a, b] πf(x)² dx.

Um das Volumen einer Halbkugel zu berechnen, wird die Formel V = (2/3)πr³ angewendet, wobei r der Radius der Halbkugel ist.

Das Volumen eines Kreiskegels lässt sich mit der Formel V = (1/3)πr²h berechnen, wobei r der Radius der Kreisfläche der Grundfläche ist und h die Höhe des Kegels darstellt.

Das Newton-Verfahren ist ein iteratives Verfahren zur numerischen Näherungslösung von Nullstellen nichtlinearer Gleichungen. Gegeben sei eine Funktion (f) mit (f(x) \in \mathbb{R}). Das Newton-Verfahren berechnet ausgehend von einem Startwert (x_0) eine Folge ((x_n)) von Näherungswerten für die Nullstelle (x^*) von (f), indem es die Tangente an den Graphen von (f) im Punkt ((x_n, f(x_n))) verwendet. Die Tangente wird durch die Gleichung (y = f(x_n) + f'(x_n) (x - x_n)) beschrieben. Setzt man (y=0) und löst die Gleichung nach (x), erhält man die nächste Näherung (x_{n+1}) über die Formel (x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}). Das Verfahren wird solange wiederholt, bis die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Näherungen unterhalb einer vorgegebenen Toleranz liegt.