Ellipsoidmethode: Konvexe Optimierung

Dieser Abschnitt beschreibt die Ellipsoid-Methode als ein Verfahren zur approximativen Lösung von konvexen Minimierungsproblemen. Das Kernprinzip besteht darin, den Lösungsraum sukzessive durch Ellipsoide zu approximieren, wobei das Volumen des Ellipsoids in jedem Iterationsschritt reduziert wird. Der Algorithmus beginnt mit einem initialen Ellipsoid E(0), das den konvexen Körper K enthält, der die zulässigen Lösungen repräsentiert. In jeder Iteration wird der Mittelpunkt des aktuellen Ellipsoids z(i) geprüft: liegt er in K, ist eine approximative Lösung gefunden. Andernfalls wird eine Hyperebene H≤(a, 〈a, z(i)〉) konstruiert, die K von z(i) trennt. Das neue Ellipsoid E(i+1) ist das Lowner-John Ellipsoid des Schnitts von E(i) und der Halbebene, welches ein minimales Volumen unter allen Ellipsoiden aufweist, die diesen Schnitt enthalten. Die Komplexität des Algorithmus wird durch die exponentielle Reduktion des Ellipsoidvolumens bestimmt: vol E(i) ≤ e^(-2ni) vol E(0). Die endliche Länge der Folge der Ellipsoide garantiert die Termination des Algorithmus nach endlich vielen Schritten, wobei die Genauigkeit durch den Parameter ε bestimmt wird. Die Methode liefert somit eine approximative Lösung in polynomialer Zeit, abhängig von der Dimension n und der Genauigkeit ε. Der Satz 7.2 beschreibt die Existenz und Eindeutigkeit des Lowner-John Ellipsoids.

Die effiziente Implementierung der Ellipsoid-Methode erfordert eine algorithmische Repräsentation des konvexen Körpers K. Hierfür wird das Konzept des Separationsorakels eingeführt. Ein starkes Separationsorakel ist ein Algorithmus, der für einen gegebenen Punkt y ∈ Qⁿ entscheidet, ob y ∈ K gilt. Falls y ∉ K, liefert das Orakel einen Vektor a ∈ Qⁿ und eine rationale Zahl β, sodass die Hyperebene {x ∈ Rⁿ | 〈a, x〉 = β} den Punkt y von K trennt. Die Definition 7.5 präzisiert diese Anforderungen. Die Verwendung von Separationsorakeln ermöglicht es, den konvexen Körper implizit zu repräsentieren, ohne explizit alle seine Punkte zu kennen. Dies ist besonders wichtig bei hochdimensionalen Problemen, wo eine explizite Darstellung des konvexen Körpers oft nicht praktikabel ist. Der Komplexitätsparameter der Methode ist mit der Anzahl der benötigten Orakelaufrufe und Rechenoperationen verknüpft, wobei die polynomiale Laufzeit des Algorithmus von der Effizienz des Separationsorakels abhängt. Die Definition 7.6 etabliert die ε-Umgebung eines konvexen Körpers, wichtig für die Definition des schwachen Optimierungsproblems.

Die Ellipsoid-Methode löst nicht direkt das exakte konvexe Minimierungsproblem, sondern ein schwaches Optimierungsproblem. Definition 7.8 beschreibt dieses Problem: Gegeben ein konvexer Körper K, ein Vektor c ∈ Qⁿ und ein Genauigkeitsparameter ε > 0, soll ein Punkt x* ∈ Qⁿ gefunden werden, der fast in K liegt (x* ∈ K[ε]) und die Zielfunktion 〈c, x〉 fast maximiert (〈c, x〉 ≤ 〈c, x*〉 + ε für alle x ∈ K[-ε]). Das Finden eines solchen Punktes wird als approximative Lösung des ursprünglichen Problems betrachtet. Die Methode nutzt eine Binärsuche, indem eine Folge von Zulässigkeitsproblemen gelöst wird. Ein Zulässigkeitsproblem entscheidet, ob eine gegebene Menge nicht leer ist und findet gegebenenfalls ein Element. Durch iterative Halbierung des Intervalls [L, U] (wobei L ≤ min{f(x) : x ∈ X} ≤ U) und Lösung der jeweiligen Zulässigkeitsprobleme, wird die optimale Lösung approximiert. Die Komplexität dieses Ansatzes hängt eng mit der Anzahl der benötigten Zulässigkeitsprobleme und der Laufzeit der Verfahren zur Lösung dieser Probleme zusammen. Satz 7.10 garantiert die Existenz eines Algorithmus mit polynomialer Laufzeit für das schwache Optimierungsproblem.

Dieser Abschnitt legt den Grundstein für das Verständnis von Inneren-Punkte-Verfahren durch die Einführung von selbstkonkordanten Funktionen. Eine Funktion f: D → R, wobei D eine offene konvexe Teilmenge von Rⁿ ist, wird als selbstkonkordant definiert, wenn sie zweimal stetig differenzierbar ist und bestimmte Bedingungen für die Hesse-Matrix erfüllt. Die Hesse-Matrix hessₓf muss für alle x ∈ D positiv definit sein (f ist streng konvex), und es muss eine Beziehung zwischen der Hesse-Matrix und der dritten Ableitung der Funktion geben, die die Selbstkonkordanz sichert. Ein wichtiges Konzept ist das intrinsische Skalarprodukt 〈·, ·〉ₓ, definiert durch die Hesse-Matrix. Die induzierte Norm ‖·‖ₓ spielt eine entscheidende Rolle bei der Analyse des Konvergenzverhaltens von Iterationsverfahren. Der Text betont die stetige Abhängigkeit der Hesse-Matrix von x und diskutiert das Verhalten von selbstkonkordanten Funktionen in der Nähe des Randes von D (Satz 7.15). Sätze 7.18 und 7.19 liefern wichtige Abschätzungen für selbstkonkordante Funktionen, die für die Konvergenzanalyse von Algorithmen unerlässlich sind. Die Definition eines eindeutigen Minimierers unter bestimmten Bedingungen wird ebenfalls hervorgehoben.

Aufbauend auf dem Konzept der selbstkonkordanten Funktionen werden Barrier-Funktionen eingeführt. Eine Funktion f: D → R ist eine Barrier-Funktion, wenn sie selbstkonkordant ist und ihr Komplexitätsparameter ϑf = sup{‖∇²f(x)⁻¹∇³f(x)‖ₓ : x ∈ D} endlich ist. Dieser Komplexitätsparameter spielt eine kritische Rolle bei der Abschätzung der Konvergenzrate von Optimierungsalgorithmen. Der Text beschreibt die Eigenschaften von Barrier-Funktionen, einschließlich der Auswirkungen der Addition von Barrier-Funktionen (Satz 7.22) und deren Einschränkung auf affine Unterräume (Korollar 7.28). Die Komplexität eines Optimierungsalgorithmus, der Barrier-Funktionen verwendet, hängt direkt mit diesem Parameter zusammen. Die Definition 7.20 fasst die Eigenschaften einer Barrier-Funktion prägnant zusammen. Der Satz 7.21 gibt eine wichtige Abschätzung für Barrier-Funktionen an, die für die Analyse der Laufzeit von Algorithmen relevant ist. Besondere Aufmerksamkeit wird dem Verhalten von Barrier-Funktionen in der Nähe des Randes des Definitionsbereichs gewidmet.

Dieser Abschnitt verbindet die Theorie der selbstkonkordanten Barrier-Funktionen mit der Praxis der Inneren-Punkte-Methode. Durch die Einführung einer streng konvexen Funktion fη(x) = η〈c, x〉 + f(x) wird der zentrale Pfad {z(η) : η ∈ ℝ⁺} definiert, wobei z(η) der Minimierer von fη ist. Dieser Pfad spielt eine Schlüsselrolle in Inneren-Punkte-Verfahren, da er eine kontinuierliche Kurve im Inneren des zulässigen Bereichs darstellt, die gegen eine optimale Lösung konvergiert, wenn η gegen unendlich strebt. Der Text erwähnt den 'Short-Step Barrier Algorithmus' als ein Verfahren zur Approximation des zentralen Pfads, ohne dessen Details zu spezifizieren. Satz 7.38 gibt eine Aussage über die Laufzeit dieses Algorithmus an, jedoch ohne genauere Angaben zur Methode selbst. Der arithmetische Aufwand wird kurz erwähnt und beinhaltet Aspekte wie die Berechnung des Newton-Schrittes und die Lösung linearer Gleichungssysteme. Es wird die Bedeutung der Cholesky-Zerlegung im Kontext der Lösung dieser Gleichungssysteme hervorgehoben. Schließlich werden primal-duale Methoden erwähnt, die den zentralen Pfad für primale und duale Probleme simultan verfolgen, um die Effizienz zu verbessern.

Dieser Abschnitt befasst sich mit der polynomialen Lösbarkeit von linearen Optimierungsproblemen (LPs). Satz 7.11 besagt explizit, dass es einen Algorithmus und eine Polynomfunktion q gibt, der lineare Optimierungsprobleme in einer durch q(‖A‖ + ‖b‖ + ‖c‖) beschränkten Laufzeit exakt löst. Dabei repräsentieren A ∈ Q^m×n, b ∈ Q^m und c ∈ Qⁿ die Daten des LPs in Matrix- und Vektorform. Die Notation ‖⋅‖ bezeichnet hier die Kodierungslänge der entsprechenden Daten. Der Satz garantiert also die Existenz eines Algorithmus mit polynomialer Laufzeit bezüglich der Eingabegröße. Die Komplexität hängt also direkt von der Größe der Eingabe ab, was die Effizienz des Verfahrens unterstreicht. Die Aussage umfasst nicht nur die Bestimmung einer optimalen Lösung x* ∈ Qⁿ, sondern auch die Erkennung von Unzulässigkeit oder Unbeschränktheit des LPs. Die Existenz eines solchen Algorithmus ist ein fundamentales Ergebnis der Komplexitätstheorie für Optimierungsprobleme.

Der Zusammenhang zwischen der Ellipsoid-Methode und der polynomialen Lösbarkeit von LPs wird diskutiert. Obwohl die Ellipsoid-Methode für die komplexitätstheoretische Klassifizierung von Optimierungsproblemen eminent wichtig ist (sie beweist die polynomiale Lösbarkeit), wird explizit darauf hingewiesen, dass sie keine praktisch brauchbaren Algorithmen für die lineare oder konvexe Optimierung darstellt. Dies liegt daran, dass die theoretisch polynomiale Laufzeit in der Praxis oft zu langen Rechenzeiten führt. Der Text verdeutlicht, dass die Komplexität der Ellipsoid-Methode in der Abhängigkeit von der Dimension des Problems und der gewünschten Genauigkeit liegt. Wenn die Ungleichungssysteme (Ax ≤ b) nicht explizit gegeben sind, sondern nur durch ein Separationsorakel zugänglich sind, kann die Ellipsoid-Methode dennoch verwendet werden, vorausgesetzt, dass das Orakel selbst eine polynomiale Laufzeit aufweist. Dieser Punkt unterstreicht die Bedeutung von effizienten Orakeln für die Gesamtlaufzeit des Verfahrens. Die Bemerkung 7.12 fasst diese Einschränkungen der Ellipsoid-Methode in Bezug auf praktische Anwendbarkeit zusammen.

Der Text erwähnt die Anwendung von Barrier-Methoden zur Lösung von LPs. Es wird festgehalten, dass lineare Optimierungsprobleme mit Barrier-Methoden ebenfalls in polynomialer Zeit exakt gelöst werden können. Die Laufzeit hängt polynomial von 〈A〉 + 〈b〉 + 〈c〉 ab, was die Abhängigkeit von der Eingabegröße erneut unterstreicht. Die Verwendung von Barrier-Funktionen führt zu effizienten Algorithmen, die den zentralen Pfad verfolgen. Allerdings werden auch die praktischen Schwierigkeiten bei der Anwendung von Barrier-Methoden angesprochen: Die Suche nach einem initialen zulässigen Punkt und die effiziente Berechnung einer exakten Lösung stellen Herausforderungen dar, die die Komplexität des Prozesses in der Praxis beeinflussen. Die Komplexität der Algorithmen wird im Zusammenhang mit der Größe der Problemdaten (A, b, c) betont. Die Schlussfolgerung unterstreicht den Unterschied zwischen theoretischer polynomialer Lösbarkeit und den praktischen Schwierigkeiten bei der Implementierung effizienter Algorithmen.

Ein zentraler Aspekt der praktischen Implementierung von Optimierungsalgorithmen ist die effiziente Darstellung der zulässigen Lösungsmenge. Der Text beschreibt die algorithmische Repräsentation konvexer Mengen durch Separationsorakel. Ein starkes Separationsorakel (Definition 7.5) ist ein Algorithmus, der für einen gegebenen Punkt y ∈ Qⁿ entscheidet, ob dieser in der konvexen Menge X liegt oder nicht. Im zweiten Fall liefert das Orakel einen Vektor a ∈ Qⁿ und eine rationale Zahl β, so dass die Hyperebene {x ∈ Rⁿ | 〈a, x〉 = β} den Punkt y von X trennt. Die Effizienz des gesamten Optimierungsverfahrens hängt stark von der Laufzeit dieses Separationsorakels ab, da es in jeder Iteration aufgerufen werden kann. Die polynomiale Laufzeit des Gesamtalgorithmus ist an die polynomiale Laufzeit des Separationsorakels gekoppelt. Die Definition 7.6 führt den Begriff der ε-Umgebung einer konvexen Menge ein, relevant für die Definition des schwachen Optimierungsproblems. Die Verwendung eines Separationsorakels erlaubt eine implizite Darstellung der konvexen Menge, was besonders für hochdimensionale Probleme von Vorteil ist, wo eine explizite Auflistung aller Punkte nicht praktikabel wäre.

Anstelle der direkten Lösung des exakten Optimierungsproblems wird das schwache konvexe Optimierungsproblem (Definition 7.8) betrachtet. Dieses Problem sucht für einen gegebenen konvexen Körper K ⊆ Rⁿ, einen Vektor c ∈ Qⁿ und einen Genauigkeitsparameter ε > 0 einen Punkt x* ∈ Qⁿ, der fast in K liegt (x* ∈ K[ε]) und die Zielfunktion 〈c, x〉 fast maximiert (〈c, x〉 ≤ 〈c, x*〉 + ε für alle x ∈ K[-ε]). Die Lösung dieses schwachen Optimierungsproblems liefert eine approximative Lösung des ursprünglichen Problems. Die Komplexität ist hier durch die geforderte Genauigkeit ε beeinflusst. Die approximative Lösung ist ausreichend, wenn eine hohe Genauigkeit nicht unbedingt erforderlich ist oder der Rechenaufwand für die exakte Lösung zu hoch ist. Der Text erwähnt die Möglichkeit, das Minimierungsproblem durch Maximierung des negativen Zielfunktionsvektors zu lösen. Die effiziente Lösung des schwachen Problems ist ein wichtiger Bestandteil der Gesamtstrategie.

Der Abschnitt diskutiert den arithmetischen Aufwand der Algorithmen. Bei Inneren-Punkte-Verfahren ist die Berechnung des Newton-Schrittes ein wichtiger Bestandteil, der die Komplexität des Algorithmus beeinflusst. Dies beinhaltet die Lösung linearer Gleichungssysteme, wobei die Cholesky-Zerlegung eine effiziente Methode darstellt, wenn die Matrix positiv definit ist. Die Berechnung der Cholesky-Zerlegung muss nur einmal erfolgen und kann dann in jeder Iteration wiederverwendet werden. Der Text erwähnt primal-duale Methoden, welche die zentralen Pfade des primalen und dualen Problems simultan verfolgen, um eine geschickte Schrittwahl zu ermöglichen und dadurch die Komplexität des Verfahrens zu reduzieren. Diese Methoden nutzen duale Informationen, z.B. Nesterov-Todd-Richtungen, für eine effizientere Konvergenz. Die Betrachtung des arithmetischen Aufwands und die Verwendung von fortgeschrittenen Methoden wie primal-dualer Ansätze sind essentiell für die Entwicklung effizienter Algorithmen in der Praxis.