Endliche Gruppen, Ringe und Körper: Eine Einführung in die Algebra I
Dokumentinformationen
| Autor | J.S. Wilson |
| Schule | Universität Leipzig |
| Fachrichtung | Algebra I |
| Sprache | German |
| Seitenanzahl | 59 |
| Format | |
| Größe | 401.37 KB |
Zusammenfassung
I.Wichtige Begriffe und Definitionen
Gruppe: Eine Menge mit einer zweistelligen Verknüpfung, die Assoziativität, Inverses und Einheitselement erfüllt.
Untergruppe: Eine Teilmenge einer Gruppe, die selbst eine Gruppe bildet, wenn die Gruppenoperation auf sie eingeschränkt wird.
Normalteiler: Eine Untergruppe, die bei Konjugation mit einem beliebigen Element der Gruppe in sich abgebildet wird.
Sylow p-Untergruppe: Eine Untergruppe einer endlichen Gruppe, deren Ordnung eine Potenz der Primzahl p ist, die die Ordnung der Gruppe nicht teilt.
II.Sätze von Lagrange und Sylow
Lagrangescher Satz: Die Ordnung einer Untergruppe teilt die Ordnung der Gruppe.
Sylowscher Satz: Jede endliche Gruppe hat Sylow p-Untergruppen für jede Primzahl p, die die Gruppenordnung nicht teilt. Diese Untergruppen sind konjugiert zueinander und die Anzahl der Sylow p-Untergruppen ist kongruent zu 1 modulo p.
1. Satz von Lagrange
Der Satz von Lagrange besagt, dass für eine endliche Gruppe G der Ordnung |G| und eine Untergruppe H von G die Ordnung von H ein Teiler von |G| ist. Formal ausgedrückt: |H| teilt |G|.
2. Sätze von Sylow
Die Sätze von Sylow befassen sich mit der Existenz und der Anzahl von Untergruppen einer endlichen Gruppe der Ordnung p^a * m, wobei p eine Primzahl ist und p nicht in m teilt. Der erste Satz von Sylow besagt, dass G mindestens eine Sylow-p-Untergruppe besitzt. Der zweite Satz beinhaltet zwei Aussagen: (a) Jede p-Untergruppe von G ist in einer Sylow-p-Untergruppe enthalten, und (b) die Sylow-p-Untergruppen von G sind alle zueinander konjugiert.
III.Homomorphismen und Isomorphismen
Homomorphismus: Eine Abbildung zwischen zwei Gruppen, die die Gruppenoperationen bewahrt.
Isomorphismus: Ein bijektiver Homomorphismus, der zwei Gruppen algebraisch identisch macht.
IV.Quotientengruppen
Quotientengruppe: Die Menge aller Linksnebenklassen einer Normalteilers in einer Gruppe bildet eine Gruppe unter einer geeigneten Operation.
Erster Isomorphiesatz: Der Kern eines Homomorphismus ist eine Normalteiler, das Bild ist eine Untergruppe und die Quotientengruppe ist isomorph zum Bild.
1. Quotientengruppen
Eine Quotientengruppe ℝ /K ist die Menge aller Linksnebenklassen gK von K in G, wobei G eine Gruppe und K ein Normalteiler von G ist. Sie bildet eine Gruppe mit der Verknüpfung (g₁K)(g₂K) = (g₁g₂)K.
2. Eigenschaften von Quotientengruppen
Die durch q(g) = gK definierte Abbildung q: G → ℝ /K ist ein surjektiver Homomorphismus mit Kern K. Gemäß dem Ersten Isomorphiesatz ist ℝ /K isomorph zum Bild von q, das gleich G / ker q = G / K ist.
3. Anwendung Alternierende Charaktere
Der alternierende Charakter " von Sₙ (den symmetrischen Permutationen von n Elementen) ist ein Homomorphismus mit Kern Aₙ, der Gruppe der geraden Permutationen. Damit ist ℝ /Sₙ isomorph zu {±1}.
V.Weitere Konzepte
Zyklische Gruppe: Eine Gruppe, die von einem einzigen Element erzeugt werden kann.
Alternierende Gruppe: Die Untergruppe von Sym X bestehend aus allen geraden Permutationen.
Zentralisator: Die Menge aller Elemente einer Gruppe, die mit einem gegebenen Element kommutieren.
Normalisator: Die Menge aller Elemente einer Gruppe, die eine gegebene Untergruppe normalisieren.