The Σ-Invariants of S-Arithmetic Subgroups of Borel Groups

Die Untersuchung der Σ-Invarianten von S-arithmetischen Untergruppen der Borel-Gruppen ist von zentraler Bedeutung in der modernen Gruppentheorie. Diese Dissertation befasst sich mit der Berechnung der vollständigen Σ-Invarianten der Gruppen B d (Z[1/p]) für fast alle Primzahlen p. Die Arbeit beginnt mit einer Einführung in die grundlegenden Konzepte, die für das Verständnis der Chevalley-Gruppen und ihrer Borel-Untergruppen erforderlich sind. Die Finitheits-Eigenschaften von Gruppen werden erörtert, wobei die Relevanz der Finitheits-Eigenschaften F_n hervorgehoben wird. Diese Eigenschaften sind entscheidend, um die Struktur und das Verhalten von Gruppen zu analysieren. Die Dissertation zeigt, dass die Existenz von Gruppen, die nicht endlich präsentiert sind, durch die Arbeiten von B. Neumann und Stallings belegt ist. Diese Erkenntnisse bilden die Grundlage für die weiteren Untersuchungen in der Arbeit.

In diesem Abschnitt werden die grundlegenden Konzepte der Metrischen Räume, Polytopen und Polyeder sowie der Topologie behandelt. Die Definition und Eigenschaften von Coxeter-Komplexen und Gebäuden werden detailliert erläutert. Diese Konzepte sind entscheidend für das Verständnis der Euclidean Buildings, die in der Arbeit verwendet werden. Die Einführung einer neuen Klasse von Höhenfunktionen auf diesen Gebäuden erweitert die bestehenden Theorien und ermöglicht eine tiefere Analyse der Σ-Invarianten. Die Dissertation zeigt, wie diese neuen Funktionen die essentiellen Zusammenhangseigenschaften der Systeme von Superlevelmengen beeinflussen. Die Bedeutung dieser Konzepte wird durch die Anwendung auf die Borel-Gruppen und deren S-arithmetischen Untergruppen unterstrichen.

Die Dissertation führt neue Techniken der kombinatorischen Morse-Theorie ein, die es ermöglichen, die Σ-Invarianten auf innovative Weise zu berechnen. Diese Techniken sind besonders wertvoll, da sie den Vorteil des essentiellen n-Zusammenhangs gegenüber dem herkömmlichen n-Zusammenhang herausstellen. Die Entwicklung dieser Methoden ist ein bedeutender Fortschritt in der Analyse von S-arithmetischen Gruppen. Die Dissertation beschreibt, wie Zyklen, die sich am Rand eines euklidischen Gebäudes befinden, in das Gebäude selbst hineingezogen werden können. Diese Methode eröffnet neue Perspektiven für die Untersuchung der Σ-Invarianten und deren Anwendungen in der Gruppentheorie. Die praktischen Anwendungen dieser Techniken sind weitreichend und können in verschiedenen Bereichen der Mathematik und theoretischen Physik genutzt werden.

Die Ergebnisse dieser Dissertation haben weitreichende Implikationen für die Theorie der Chevalley-Gruppen und deren Borel-Untergruppen. Die Berechnung der Σ-Invarianten bietet neue Einsichten in die Struktur und Eigenschaften dieser Gruppen. Die Arbeit zeigt, dass die entwickelten Methoden nicht nur für die spezifischen Gruppen von Interesse sind, sondern auch auf andere Bereiche der Mathematik anwendbar sind. Zukünftige Forschungen könnten sich darauf konzentrieren, die entwickelten Techniken auf andere Klassen von Gruppen zu übertragen und die praktischen Anwendungen in der algebraischen Geometrie und der Zahlentheorie weiter zu erforschen. Die Dissertation leistet somit einen wertvollen Beitrag zur Weiterentwicklung der Gruppentheorie und ihrer Anwendungen.