Stochastic Differential Equations with Singular Drifts and Multiplicative Noises
Dokumentinformationen
| Autor | Chengcheng Ling |
| instructor | Prof. Dr. Zhiming Ma |
| Schule | Universität Bielefeld |
| Fachrichtung | Mathematik |
| Veröffentlichungsjahr | 2019 |
| Ort | Bielefeld |
| Dokumenttyp | thesis |
| Sprache | English |
| Seitenanzahl | 151 |
| Format | |
| Größe | 1.11 MB |
- Stochastic Differential Equations
- Singular Drifts
- Multiplicative Noises
Zusammenfassung
I. Einleitung
Die Untersuchung von stochastischen Differentialgleichungen (SDEs) mit singulären Driften und multiplikativen Störungen ist von zentraler Bedeutung in der modernen Mathematik. Diese Arbeit befasst sich mit der Wohlgestelltheit von SDEs, die durch kontinuierliche multiplikative Störungen auf gemischten Normräumen angetrieben werden. Die Existenz und Eindeutigkeit starker globaler Lösungen wird nachgewiesen, was für die Anwendung in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Physik von Bedeutung ist. Die Ergebnisse zeigen, dass die Lösungen in einem gemischten Normraum existieren und eindeutig sind, was die Robustheit der mathematischen Modelle unterstreicht. Die Wohlgestelltheit ist entscheidend für die Vorhersagbarkeit und Stabilität der Lösungen, was in der Praxis von großer Bedeutung ist.
1.1 Hintergrund und Motivation
Die Motivation hinter dieser Forschung liegt in der Notwendigkeit, die Wohlgestelltheit von SDEs zu verstehen, die durch kontinuierliche Störungen beeinflusst werden. Diese Störungen sind in vielen realen Anwendungen zu finden, von Finanzmodellen bis hin zu physikalischen Systemen. Die Arbeit untersucht die Bedingungen, unter denen Lösungen existieren und eindeutig sind, und bietet einen tiefen Einblick in die mathematischen Strukturen, die diesen Gleichungen zugrunde liegen. Die Ergebnisse sind nicht nur theoretisch von Interesse, sondern haben auch praktische Anwendungen in der Modellierung von stochastischen Prozessen in verschiedenen Disziplinen.
II. Hauptresultate
Die Arbeit präsentiert mehrere Hauptresultate zur Wohlgestelltheit von SDEs. Zunächst wird die Existenz und Eindeutigkeit starker Lösungen für SDEs, die durch kontinuierliche multiplikative Störungen auf allgemeinen Raum-Zeit-Domänen angetrieben werden, nachgewiesen. Diese Ergebnisse sind von großer Bedeutung, da sie die Grundlage für die Analyse komplexer stochastischer Systeme bilden. Ein weiteres zentrales Ergebnis ist die Untersuchung der Nicht-Explosion von Lösungen, die zeigt, dass unter bestimmten Bedingungen die Explosionszeit der Lösung unendlich ist. Dies hat weitreichende Implikationen für die Stabilität und das Verhalten von Lösungen in der Praxis.
2.1 Wohlgestelltheit und Nicht Explosion
Die Untersuchung der Nicht-Explosion von Lösungen ist ein entscheidender Aspekt dieser Arbeit. Es wird gezeigt, dass die Lösungen unter bestimmten Lyapunov-Bedingungen stabil bleiben, was bedeutet, dass sie nicht in endlicher Zeit explodieren. Diese Erkenntnisse sind besonders relevant für die Anwendung in der Finanzmathematik, wo die Stabilität von Modellen von größter Bedeutung ist. Die Ergebnisse bieten auch neue Perspektiven für die Analyse von stochastischen Prozessen, die in der Natur und Technik vorkommen.
III. Praktische Anwendungen
Die Ergebnisse dieser Arbeit haben zahlreiche praktische Anwendungen in verschiedenen Bereichen. Insbesondere die Wohlgestelltheit von SDEs ist entscheidend für die Entwicklung von Modellen in der Finanzmathematik, der Physik und der Ingenieurwissenschaft. Die Fähigkeit, stabile und vorhersehbare Lösungen zu finden, ermöglicht es Wissenschaftlern und Ingenieuren, komplexe Systeme besser zu verstehen und vorherzusagen. Darüber hinaus bieten die Erkenntnisse über die Nicht-Explosion von Lösungen wertvolle Informationen für die Entwicklung robuster mathematischer Modelle, die in der Praxis eingesetzt werden können.
3.1 Anwendungen in der Finanzmathematik
In der Finanzmathematik sind stochastische Modelle von zentraler Bedeutung für die Bewertung von Derivaten und das Risikomanagement. Die in dieser Arbeit entwickelten Konzepte zur Wohlgestelltheit von SDEs können direkt auf die Modellierung von Finanzinstrumenten angewendet werden. Die Ergebnisse bieten eine solide Grundlage für die Entwicklung neuer Bewertungsmethoden und Strategien zur Risikominderung, was für Investoren und Finanzinstitute von großem Interesse ist.
Dokumentreferenz
- Searching for the regular in the irregular: Analysis of singular and random systems (DFG)
- Existence and uniqueness of weak solutions to SDEs with distributional valued drifts and jump type noise
- Diffusions in random media
- M-particle systems with gradient dynamics
- Krylov estimates and existence of weak solutions