Neue nichtlineare Ausgleichsverfahren für Anwendungen in der Geodäsie und verwandten Gebieten

Aktualisiert am:19/01/2025

Dokumentinformationen

Autor	Georgios Malissiovas
Schule	Technische Universität Berlin
Fachrichtung	Geodäsie und Geoinformationstechnik
Veröffentlichungsjahr	2020
Ort	München
Dokumenttyp	dissertation

Sprache	German
Seitenanzahl	206
Format
Größe	2.58 MB

Geodäsie
Nichtlineare Ausgleichsverfahren
Geoinformationstechnik

Zusammenfassung

I. Einleitung und Motivation

Die Dissertation 'Neue nichtlineare Ausgleichsverfahren für Anwendungen in der Geodäsie und verwandten Gebieten' von Georgios Malissiovas behandelt eine Klasse von nichtlinearen Ausgleichungsproblemen. Diese Probleme sind in der mathematischen Statistik als Errors-In-Variables (EIV) bekannt. Die Arbeit zielt darauf ab, die Total Least Squares (TLS) Methode zu popularisieren, die eine direkte Lösung für bestimmte Gewichtungsfälle bietet. Die Relevanz dieser Forschung liegt in der Notwendigkeit, präzise und effiziente Lösungen in der Geodäsie zu finden. Die Dissertation stellt fest, dass die TLS-Lösung in der geodätischen Gemeinschaft bereits bekannt ist, jedoch oft nicht in vollem Umfang genutzt wird. Die Motivation hinter dieser Arbeit ist die Verbesserung der Effizienz in ingenieurtechnischen Anwendungen, wo die Genauigkeit der Messungen entscheidend ist. Die Untersuchung der gewichteten kleinsten Quadrate (WTLS) Algorithmen zeigt, dass diese Ansätze nicht nur theoretisch, sondern auch praktisch anwendbar sind. Die Arbeit bietet einen systematischen Ansatz zur Lösung dieser Probleme und hebt die Bedeutung der mathematischen Formalisierung hervor.

1.1 Forschungsbeiträge

Die Dissertation leistet einen bedeutenden Beitrag zur mathematischen Modellierung von nichtlinearen Ausgleichungsproblemen. Sie bietet eine klare mathematische Beziehung zwischen der TLS und den direkten Lösungen der kleinsten Quadrate. Ein zentrales Element der Arbeit ist die Entwicklung neuer Algorithmen, die iterative Lösungen für gewichtete kleinste Quadrate bereitstellen, ohne das ursprüngliche Problem zu linearisieren. Diese Algorithmen sind besonders wertvoll für Anwendungen, bei denen die Effizienz von Lösungen entscheidend ist. Die Arbeit zeigt, dass für bestimmte Gewichtungsfälle weiterhin direkte Lösungen existieren, was durch die Einführung neuer Lösungsstrategien unterstützt wird. Die Analyse der stochastischen Modelle mit allgemeineren Gewichtsmatrizen und deren Korrelationen ist ein weiterer wichtiger Aspekt, der die Vielseitigkeit der vorgestellten Methoden unterstreicht.

II. Grundlagen der Ausgleichungsrechnung

In diesem Abschnitt wird die mathematische Modellierung von Ausgleichungsproblemen behandelt. Die Dissertation erklärt, wie die Singulärwertzerlegung (SVD) in der Praxis angewendet wird, um Lösungen für gleichgewichtete und unkorrelierte Messungen zu finden. Die Bedeutung der SVD wird hervorgehoben, da sie eine direkte Lösung für viele geodätische Probleme ermöglicht. Die Arbeit stellt fest, dass die Total Least Squares Methode nicht nur theoretisch, sondern auch praktisch anwendbar ist. Die Analyse der gewichteten Total Least Squares (WTLS) Algorithmen zeigt, dass diese Ansätze in der Lage sind, die Effizienz der Lösungen zu verbessern. Die Dissertation bietet eine umfassende Übersicht über die verschiedenen Ansätze zur Lösung von nichtlinearen Ausgleichungsproblemen und hebt die Notwendigkeit hervor, diese Methoden in der geodätischen Praxis zu implementieren. Die vorgestellten Algorithmen sind nicht nur innovativ, sondern auch anpassungsfähig an verschiedene Anwendungsfälle in der Ingenieurwissenschaft.

2.1 Mathematische Modellierung

Die mathematische Modellierung ist ein zentraler Bestandteil der Dissertation. Sie beschreibt, wie nichtlineare Modelle in der Geodäsie verwendet werden, um präzise Ergebnisse zu erzielen. Die Dissertation erläutert die Herausforderungen, die mit der Modellierung von Ausgleichungsproblemen verbunden sind, und bietet Lösungen, die auf der Total Least Squares Methode basieren. Die Arbeit zeigt, dass die Transformation des Problems in die Lösung einer quadratischen oder kubischen algebraischen Gleichung eine effektive Strategie darstellt. Diese Herangehensweise ermöglicht es, die Komplexität der Probleme zu reduzieren und gleichzeitig die Genauigkeit der Lösungen zu gewährleisten. Die Dissertation hebt die Bedeutung der mathematischen Formalisierung hervor, um die Robustheit der Lösungen zu garantieren und die Anwendbarkeit in der Praxis zu verbessern.