Interpolating Between Tits Buildings and Free Factor Complexes
Dokumentinformationen
| Autor | Benjamin Brück |
| Schule | Universität Bielefeld |
| Fachrichtung | Mathematik |
| Veröffentlichungsjahr | 2019 |
| Ort | Bielefeld |
| Dokumenttyp | dissertation |
| Sprache | English |
| Seitenanzahl | 114 |
| Format | |
| Größe | 3.75 MB |
- Simplicial Complexes
- Algebraic Topology
- Group Theory
Zusammenfassung
I. Einleitung
Die Dissertation von Benjamin Brück behandelt die Konstruktion einer neuen Familie von simplicialen Komplexen, die zwischen Tits-Gebäuden und freien Faktor-Komplexen interpolieren. Diese Arbeit ist von großer Bedeutung, da sie neue Perspektiven auf die Topologie von coset complexes eröffnet. Die Hauptleistung besteht darin, dass für jeden endlichen Graphen Γ ein simplicialer Komplex CC konstruiert wird, der mit der äußeren Automorphismusgruppe der rechtwinkligen Artin-Gruppe A Γ assoziiert ist. Diese Komplexe sind durch die Schnittmuster von Nebenklassen parabolischer Untergruppen definiert. Die Dimension d, die aus dem definierten Graphen Γ abgelesen werden kann, stellt ein neues Invariant für die Automorphismusgruppe von A Γ dar. Die Arbeit führt neue Methoden zur Untersuchung der Topologie von coset complexes und coset posets ein und verfeinert die Zerfallsequenz für Automorphismusgruppen, die zuvor von Day-Wade etabliert wurde.
II. Vorbereitungen zur Poset Topologie
In diesem Abschnitt werden grundlegende Konzepte der Poset-Topologie behandelt. Die Definitionen und grundlegenden Eigenschaften von Posets und deren Realisierungen werden erläutert. Die Arbeit hebt die Bedeutung von Faser-Sätzen hervor, die in der Poset-Topologie verwendet werden, um die Struktur von Komplexen zu verstehen. Die Alexander-Dualität für Posets wird ebenfalls behandelt, was eine wichtige Rolle bei der Analyse der Homotopie von Komplexen spielt. Die Einführung von sphärischen Komplexen und deren Eigenschaften ist entscheidend für das Verständnis der Cohen-Macaulay-Eigenschaft. Diese Konzepte sind nicht nur theoretisch von Bedeutung, sondern haben auch praktische Anwendungen in der algebraischen Topologie und der geometrischen Gruppentheorie.
2.1 Posets und deren Realisierungen
Die Realisierungen von Posets sind entscheidend für die Analyse ihrer topologischen Eigenschaften. Die Dissertation beschreibt, wie diese Realisierungen in der Praxis verwendet werden können, um komplexe Strukturen zu untersuchen. Die Verknüpfung zwischen Posets und geometrischen Objekten wird durch verschiedene Beispiele verdeutlicht, die die Relevanz dieser Konzepte in der modernen Mathematik unterstreichen.
2.2 Werkzeuge aus der Poset Topologie
Die Dissertation führt verschiedene Werkzeuge ein, die in der Poset-Topologie verwendet werden. Dazu gehören die Faser-Sätze, die eine zentrale Rolle bei der Untersuchung der Homotopie von Komplexen spielen. Diese Werkzeuge ermöglichen es, tiefere Einblicke in die Struktur von coset complexes zu gewinnen und deren Eigenschaften zu analysieren. Die Anwendung dieser Werkzeuge in der Forschung zeigt die praktische Relevanz der theoretischen Konzepte.
III. Coset Komplexe
Der Abschnitt über Coset-Komplexe behandelt deren Definitionen und grundlegenden Eigenschaften. Die Dissertation beschreibt, wie coset complexes und coset posets miteinander verknüpft sind und welche Rolle sie in der algebraischen Topologie spielen. Die Untersuchung der höheren Generation und der Cohen-Macaulay-Komplexe ist ein zentrales Thema. Die Arbeit zeigt, dass die Eigenschaften dieser Komplexe tiefere Einsichten in die Struktur von Gruppen und deren Automorphismusgruppen ermöglichen. Die Analyse der parabolischen Untergruppen und deren Beziehung zu den Tits-Gebäuden ist besonders hervorzuheben, da sie neue Perspektiven auf die Geometrie von Gruppen eröffnet.
3.1 Definitionen und grundlegende Eigenschaften
Die Definition von coset complexes wird detailliert erläutert, einschließlich ihrer grundlegenden Eigenschaften. Die Dissertation zeigt, wie diese Komplexe konstruiert werden und welche mathematischen Strukturen sie repräsentieren. Die Untersuchung der Gruppeneigenschaften und deren Auswirkungen auf die Struktur der Komplexe ist von großer Bedeutung für das Verständnis der algebraischen Topologie.
3.2 Höhere Generation und Cohen Macaulay Komplexe
Die Dissertation behandelt die Konzepte der höheren Generation und der Cohen-Macaulay-Komplexe. Diese Konzepte sind entscheidend für die Analyse der Homotopie von Komplexen und deren Anwendungen in der algebraischen Topologie. Die Arbeit zeigt, wie diese Konzepte miteinander verknüpft sind und welche Bedeutung sie für die Untersuchung von coset complexes haben.
Dokumentreferenz
- Cohen–Macaulayness (Benjamin Brück)
- Outer space of the free group F_n (Benjamin Brück)
- Automorphism groups of right-angled Artin groups (Day–Wade)
- Free factor complex F_4 (Benjamin Brück)
- Higher generation and coset complexes (Herbert Abels)