Hurwitz Action in Coxeter Groups and Extended Weyl Groups with Applications in Representation Theory
Dokumentinformationen
| Autor | Sophiane Yahiatène |
| Schule | Universität Bielefeld |
| Fachrichtung | Mathematik |
| Veröffentlichungsjahr | 2020 |
| Ort | Bielefeld |
| Dokumenttyp | dissertation |
| Sprache | English |
| Seitenanzahl | 121 |
| Format | |
| Größe | 1.00 MB |
- Representation Theory
- Coxeter Groups
- Algebra
Zusammenfassung
I. Einführung
Die Dissertation behandelt die Hurwitz-Aktion in Coxeter-Gruppen und erweiterten Weyl-Gruppen sowie deren Anwendungen in der Darstellungstheorie von endlichdimensionalen Algebren. Der erste Teil konzentriert sich auf die Reflexionsgruppen, insbesondere auf die Coxeter-Gruppen und die weniger erforschten erweiterten Weyl-Gruppen. Diese Gruppen sind in verschiedenen Bereichen der Mathematik von Bedeutung, einschließlich der Singularitätstheorie und der Klassifikation algebraischer Strukturen. Die Coxeter-Gruppen sind präzise die endlichen euklidischen Reflexionsgruppen, die in der Geometrie von regulären Polyedern auftreten. Die erweiterten Weyl-Gruppen hingegen spielen eine Rolle in der Theorie der erweiterten affinen Lie-Algebren. Die Dissertation untersucht die Hurwitz-Aktion, die als eine Art von Gruppenaktion definiert ist, die auf den Reflexionen dieser Gruppen basiert. Diese Aktion wurde erstmals von Hurwitz im Jahr 1891 im Kontext der symmetrischen Gruppe untersucht.
1.1 Hauptresultate
Die Hauptresultate der Dissertation umfassen die Definitionen und grundlegenden Eigenschaften der Hurwitz-Aktion sowie deren Anwendung auf Coxeter-Gruppen. Es wird gezeigt, dass die Hurwitz-Aktion auf den Reflexionsfaktorisierungen von Elementen in Coxeter-Gruppen anwendbar ist. Ein zentrales Thema ist die Frage, ob zwei Reflexionsfaktorisierungen in der gleichen Orbit der Hurwitz-Aktion liegen. Diese Frage ist im Allgemeinen unentscheidbar, was von Liberman und Teicher nachgewiesen wurde. Die Dissertation bietet auch eine detaillierte Analyse der dual Matsumoto-Eigenschaft, die für parabolische Coxeter-Elemente gilt. Diese Eigenschaft ermöglicht es, von einem reduzierten Ausdruck eines Elements zu einem anderen über die Anwendung von Braid-Beziehungen zu gelangen.
II. Reflexionsgruppen und Hurwitz Aktion
Der zweite Abschnitt der Dissertation widmet sich den Reflexionsgruppen und der Hurwitz-Aktion. Reflexionsgruppen sind Gruppen, die durch Reflexionen in einem Vektorraum definiert sind. Die Hurwitz-Aktion ist eine spezielle Art von Gruppenaktion, die auf den Reflexionen dieser Gruppen basiert. Diese Aktion ist von zentraler Bedeutung für das Verständnis der Struktur von Coxeter-Gruppen und deren Anwendungen in der Darstellungstheorie. Die Dissertation beschreibt die grundlegenden Eigenschaften der Hurwitz-Aktion und deren Auswirkungen auf die Struktur der Gruppen. Ein wichtiger Aspekt ist die Untersuchung der Reflexionsfaktorisierungen, die eine zentrale Rolle in der Analyse der Hurwitz-Aktion spielen. Die Dissertation zeigt, dass die Hurwitz-Aktion auf den Satz der nicht-reduzierten Reflexionsfaktorisierungen anwendbar ist und untersucht die quasi-Coxeter-Elemente in den endlichen Coxeter-Gruppen.
2.1 Reflexionsgruppen
Die Reflexionsgruppen sind eine Klasse von Gruppen, die durch ihre Reflexionselemente charakterisiert sind. Diese Gruppen sind in der Mathematik von großer Bedeutung, da sie in verschiedenen Kontexten auftreten, einschließlich der Geometrie und der algebraischen Strukturtheorie. Die Dissertation analysiert die Eigenschaften dieser Gruppen und deren Beziehung zur Hurwitz-Aktion. Es wird gezeigt, dass die Reflexionsgruppen eine wichtige Rolle in der Klassifikation von algebraischen Strukturen spielen und dass ihre Eigenschaften tiefere Einsichten in die Darstellungstheorie ermöglichen.
2.2 Hurwitz Aktion
Die Hurwitz-Aktion ist eine fundamentale Aktion, die auf den Reflexionen in Coxeter-Gruppen basiert. Diese Aktion ermöglicht es, die Struktur der Gruppen zu untersuchen und die Beziehungen zwischen den Elementen zu analysieren. Die Dissertation beschreibt die mathematischen Grundlagen der Hurwitz-Aktion und deren Anwendung auf verschiedene Gruppen. Ein zentrales Ergebnis ist die Feststellung, dass die Hurwitz-Aktion auf den Satz der reduzierten Reflexionsfaktorisierungen anwendbar ist, was zu neuen Erkenntnissen in der Darstellungstheorie führt.
III. Anwendungen in der Darstellungstheorie
Die Dissertation untersucht die praktischen Anwendungen der Hurwitz-Aktion in der Darstellungstheorie von endlichdimensionalen Algebren. Diese Anwendungen sind von großer Bedeutung für das Verständnis der algebraischen Strukturen und deren Eigenschaften. Die Dissertation zeigt, dass die Hurwitz-Aktion nicht nur theoretische Implikationen hat, sondern auch praktische Anwendungen in der Mathematik und verwandten Disziplinen. Ein Beispiel für eine solche Anwendung ist die Untersuchung der Klassifikation von Darstellungen von Coxeter-Gruppen und deren Verbindungen zu anderen mathematischen Konzepten. Die Dissertation bietet auch Einblicke in die Rolle der erweiterten Weyl-Gruppen in der Darstellungstheorie und deren Bedeutung für die algebraische Strukturtheorie.
3.1 Klassifikation von Darstellungen
Die Klassifikation von Darstellungen ist ein zentrales Thema in der Darstellungstheorie. Die Dissertation analysiert, wie die Hurwitz-Aktion zur Klassifikation von Darstellungen von Coxeter-Gruppen beiträgt. Es wird gezeigt, dass die Hurwitz-Aktion eine wichtige Rolle bei der Identifizierung von Äquivalenzen zwischen verschiedenen Darstellungen spielt. Diese Erkenntnisse sind nicht nur theoretisch von Bedeutung, sondern haben auch praktische Anwendungen in der Mathematik und Physik.
3.2 Bedeutung der erweiterten Weyl Gruppen
Die erweiterten Weyl-Gruppen sind ein weiterer wichtiger Aspekt der Dissertation. Diese Gruppen erweitern die klassischen Weyl-Gruppen und spielen eine entscheidende Rolle in der Darstellungstheorie. Die Dissertation untersucht die Eigenschaften dieser Gruppen und deren Anwendungen in der algebraischen Strukturtheorie. Es wird gezeigt, dass die erweiterten Weyl-Gruppen tiefere Einsichten in die Struktur von Coxeter-Gruppen ermöglichen und somit einen wertvollen Beitrag zur Darstellungstheorie leisten.
Dokumentreferenz
- Finite Euclidean reflection groups
- Singularity theory
- Classification results of algebraic structures as finite dimensional complex semisimple Lie algebra
- Theory of extended affine Lie algebras
- Hurwitz action in the case of the symmetric group (Hurwitz)