Higher Order Concentration of Measure and Applications
Dokumentinformationen
| Autor | Arthur Sinulis |
| Schule | Universität Bielefeld |
| Fachrichtung | Mathematik |
| Veröffentlichungsjahr | 2019 |
| Ort | Bielefeld |
| Dokumenttyp | dissertation |
| Sprache | English |
| Seitenanzahl | 156 |
| Format | |
| Größe | 1.39 MB |
- Concentration of Measure
- Higher Order Concentration
- Probability Theory
Zusammenfassung
I. Einleitung
Die Dissertation behandelt das Phänomen der Higher Order Concentration of Measure und dessen Anwendungen. Der Fokus liegt auf der Untersuchung von multilevel concentration inequalities, die für Funktionen von mehreren Zufallsvariablen gelten. Diese Ungleichungen sind von zentraler Bedeutung in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Die Arbeit zielt darauf ab, die bestehenden Theorien zu erweitern und neue Ansätze zu entwickeln, um die Konzentration von Maß in höheren Ordnungen zu verstehen. Die Relevanz dieser Forschung erstreckt sich über verschiedene Bereiche, einschließlich der statistischen Physik und der Informationstheorie. Ein zentrales Ziel ist es, die Bedingungen zu identifizieren, unter denen diese Ungleichungen gelten, und die praktischen Implikationen für die Analyse von Zufallsprozessen zu beleuchten.
1.1 Konzentration von Maß
Die Konzentration von Maß beschreibt, wie sich Wahrscheinlichkeitsverteilungen in Bezug auf ihre Mittelwerte verhalten. In der Dissertation wird untersucht, wie sich diese Konzepte auf Funktionen von mehreren Zufallsvariablen anwenden lassen. Die Arbeit zeigt, dass die Higher Order Concentration nicht nur theoretische Bedeutung hat, sondern auch praktische Anwendungen in der Analyse von komplexen Systemen. Die Ergebnisse belegen, dass die Konzentration von Maß in höheren Ordnungen zu einer besseren Vorhersage von Extremereignissen führt, was für viele wissenschaftliche Disziplinen von Bedeutung ist.
II. Bernstein Typ Ungleichungen
Ein wesentlicher Bestandteil der Dissertation sind die Bernstein-Typ Ungleichungen, die als Grundlage für die Analyse der Higher Order Concentration dienen. Diese Ungleichungen ermöglichen es, die Abweichungen von Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert zu quantifizieren. Die Dissertation zeigt, wie die Bobkov-Götze-Theorem verwendet werden kann, um diese Ungleichungen für Funktionen mit bestimmten Ableitungen abzuleiten. Die Bedeutung dieser Ergebnisse liegt in ihrer Fähigkeit, die Konzentration von Maß in verschiedenen Kontexten zu erklären, insbesondere in Bezug auf sub-Gaussian Zufallsvariablen. Die Arbeit hebt hervor, dass diese Ungleichungen nicht nur theoretisch sind, sondern auch praktische Anwendungen in der statistischen Analyse und der Datenwissenschaft finden.
2.1 Anwendungen der Bernstein Typ Ungleichungen
Die Anwendungen der Bernstein-Typ Ungleichungen sind vielfältig. Sie finden Verwendung in der Analyse von empirischen Prozessen und der Untersuchung von U-statistics. Die Dissertation diskutiert spezifische Beispiele, in denen diese Ungleichungen zur Lösung praktischer Probleme in der Statistik eingesetzt werden können. Die Ergebnisse zeigen, dass die Konzentration von Maß in diesen Anwendungen entscheidend ist, um die Verlässlichkeit von Schätzungen und Vorhersagen zu gewährleisten. Die Arbeit schließt mit der Feststellung, dass die Erweiterung dieser Ungleichungen auf komplexere Systeme ein vielversprechendes Forschungsfeld darstellt.
III. Konzentrationsungleichungen für polynomiale Funktionen
Ein weiterer wichtiger Aspekt der Dissertation ist die Untersuchung von Konzentrationsungleichungen für polynomiale Funktionen in unabhängigen Zufallsvariablen. Diese Ungleichungen erweitern die bestehenden Theorien und bieten neue Perspektiven auf die Higher Order Concentration. Die Dissertation zeigt, dass die Analyse von polynomialen Funktionen in diesem Kontext zu neuen Erkenntnissen über die Verteilung von Zufallsvariablen führt. Die Ergebnisse sind besonders relevant für die statistische Physik und die Analyse von Netzwerken, wo die Konzentration von Maß eine zentrale Rolle spielt. Die Arbeit hebt hervor, dass die Entwicklung dieser Ungleichungen nicht nur theoretische Bedeutung hat, sondern auch praktische Anwendungen in der Datenanalyse und der Modellierung komplexer Systeme.
3.1 Praktische Anwendungen
Die praktischen Anwendungen der Konzentrationsungleichungen für polynomiale Funktionen sind weitreichend. Sie können in der Analyse von Zufallsnetzwerken und der Untersuchung von Ising-Modellen eingesetzt werden. Die Dissertation diskutiert spezifische Fallstudien, in denen diese Ungleichungen zur Lösung realer Probleme in der statistischen Physik und der Netzwerkforschung verwendet werden. Die Ergebnisse zeigen, dass die Higher Order Concentration entscheidend ist, um die Dynamik komplexer Systeme zu verstehen und Vorhersagen über deren Verhalten zu treffen. Die Arbeit schließt mit der Feststellung, dass die Weiterentwicklung dieser Konzepte ein vielversprechendes Forschungsfeld darstellt.
Dokumentreferenz
- Bobkov–Götze theorem (Bobkov, Sergey G. und Götze, Friedrich)
- Inequality by Gao–Quastel (Gao, H. und Quastel, J.)
- Approximate tensorization property of the entropy (Marton, K.)
- Results of BBLM (BBLM)
- Results of BGS (BGS)