Finite and Infinite Networks: A Mathematical Study of AC Networks and Effective Impedance

Die Dissertation behandelt die mathematische Analyse von endlichen und unendlichen Netzwerken im Kontext von AC-Netzen und wirksamer Impedanz. Die Motivation hinter dieser Arbeit liegt in der Notwendigkeit, die Konzepte der Impedanz und der wirksamen Impedanz in elektrischen Netzwerken zu klären, insbesondere in Bezug auf passive Elemente wie Widerstände, Kondensatoren und Spulen. Die Arbeit zeigt, dass die wirksame Impedanz in der physikalischen und mathematischen Literatur weit verbreitet ist, jedoch die theoretische Fundierung in Anwesenheit von Spulen und Kondensatoren unzureichend ist. Die mathematische Darstellung von AC-Netzen erfolgt durch lokal endliche, verbundene Graphen, deren Kanten mit Gewichten versehen sind, die von einem Parameter λ abhängen. Diese Gewichte sind rationale Funktionen von λ mit reellen Koeffizienten und entsprechen physikalischen Zulassungen. Die Dissertation zielt darauf ab, zwei mathematische Modelle für AC-Netze zu konstruieren und die wirksame Zulassung als das Inverse der wirksamen Impedanz zu definieren.

In diesem Abschnitt wird die effektive Impedanz für endliche Netzwerke untersucht. Zunächst wird eine mathematisch korrekte Definition der effektiven Zulassung eingeführt. Es werden Schätzungen der effektiven Zulassungen für endliche Netzwerke in Bezug auf λ bewiesen. Diese Schätzungen zeigen, dass die Sequenz der effektiven Zulassungen von endlichen Netzwerkannäherungen in bestimmten Regionen der komplexen Ebene gegen eine holomorphe Funktion von λ konvergiert. Dies ermöglicht die Definition der effektiven Zulassung für unendliche Netzwerke in diesen Regionen. Ein Beispiel für ein unendliches Netzwerk, das in dieser Arbeit behandelt wird, ist die Leiter von Feynman. Die Analyse der effektiven Impedanz und der effektiven Zulassung bietet wertvolle Einblicke in die Struktur und das Verhalten von AC-Netzen und hat praktische Anwendungen in der Elektrotechnik und der mathematischen Physik.

2.1 Beschreibung des Modells und Definition des Netzwerks

2.2 Grundlegende Eigenschaften der effektiven Impedanz

Die Untersuchung der effektiven Zulassung unendlicher Netzwerke ist ein zentraler Bestandteil dieser Dissertation. Hier wird die wirksame Zulassung als Element eines geordneten Feldes betrachtet. Das Maximumsprinzip für den Laplace-Operator mit Gewichten aus einem geordneten Feld wird diskutiert, was die eindeutige Definition der effektiven Zulassung ermöglicht. Die Anwendung dieser Ergebnisse auf das geordnete Feld der rationalen Funktionen mit reellen Koeffizienten R(λ) zeigt die Vielseitigkeit und Relevanz der theoretischen Ansätze. Besondere Beispiele, wie Netzwerke über dem Levi-Civita-Feld, werden analysiert, um die Grenzen und Möglichkeiten der effektiven Zulassung in nicht-archimedischen Feldern zu demonstrieren.

3.1 Einstellungen Annahmen und Definitionen