Analysis and Dynamics on the Cone of Discrete Radon Measures

Die Dissertation 'Analysis and Dynamics on the Cone of Discrete Radon Measures' bietet eine umfassende Untersuchung der positiven diskreten Radonmaße K(R^d). Diese Arbeit stellt einen innovativen Ansatz dar, um interagierende Partikelsysteme in einem kontinuierlichen Zustandsraum zu modellieren. Der erste Abschnitt gibt einen historischen Überblick über die interagierenden Partikelsysteme und beleuchtet die externen Motivationen für die Betrachtung des Kegels. Die Verbindung zu homogenen Konfigurationsräumen wird durch die Theorie der Formen von Platon erläutert. Die Dissertation ist in mehrere Teile gegliedert, die die notwendigen Vorbedingungen für die Analyse des Kegels festlegen und die topologischen sowie messbaren Strukturen einführen. Die Bedeutung dieser Strukturen wird durch die Diskussion über harmonische Analyse und die relevanten Konzepte der Markov-Evolution unterstrichen.

Im zweiten Abschnitt wird die Geometrie des Kegels K(R^d) behandelt. Hierbei werden die Konzepte des Gradienten und des Laplacians eingeführt. Diese Konzepte werden mit dem sogenannten Platonischen Raum verglichen, der in einem vorherigen Abschnitt vorgestellt wurde. Ein wichtiger Aspekt ist das Umbral-Kalkül, das sich mit der Analyse von Polynomen beschäftigt. Zudem wird ein neues geometrisches Konzept, das als Differenzkalkül bezeichnet wird, eingeführt. Dieses Konzept betrachtet diskrete Unterschiede anstelle von infinitesimalen Objekten. Die Diskussion über Kommutationsrelationen und die Verbindung zum Umbral-Kalkül sowie die Einführung eines diskreten Laplacians sind ebenfalls von zentraler Bedeutung. Diese Konzepte sind entscheidend für das Verständnis der dynamischen Eigenschaften der betrachteten Systeme.

Der dritte Abschnitt widmet sich der Untersuchung konkreter Partikelsysteme auf dem Kegel K(R^d). Es werden drei Modelle betrachtet: Glauber-Dynamik, kontinuierliches Kontaktmodell und das Bolker-Dieckmann-Law-Pacala-Modell. Alle drei Modelle gehören zur Klasse der sogenannten Geburts- und Sterbemodelle, bei denen stationäre Partikel gemäß bestimmter Raten erscheinen und verschwinden. Diese Vielfalt illustriert die unterschiedlichen Herausforderungen, die für jedes Modell gelöst werden müssen. Die Dissertation zeigt die Existenz der verschiedenen Dynamiken sowie einige zusätzliche Eigenschaften, die für jedes Modell typisch sind. Die Analyse dieser Modelle hat praktische Anwendungen in der Biologie und der Wahrscheinlichkeitstheorie, was die Relevanz der Arbeit unterstreicht.